[论文解读] Bohr--Rogosinski radius for analytic functions

I. R. Kayumov, Saminathan Ponnusamy|arXiv (Cornell University)|Aug 18, 2017

Advanced Banach Space Theory参考文献 5被引用 24

一句话总结

本文引入并研究了单位圆盘上解析函数的玻尔-罗戈辛斯基半径，通过将函数的模与泰勒系数的尾部和相结合，推广了经典的玻尔不等式和罗戈辛斯基不等式。作者建立了使得 $ |f(z)| + \sum_{k=N}^\infty |a_k|r^k \leq 1 $ 成立的半径 $ r $ 的精确界限，分别通过求解 $ 2(1+r)r^N - (1-r)^2 = 0 $ 和 $ (1+r)r^N - (1-r)^2 = 0 $ 得到精确半径，并通过到边界距离的表达式将该概念推广至从属关系和子域情形。

ABSTRACT

There are a number of articles which deal with Bohr's phenomenon whereas only a few papers appeared in the literature on Rogosinski's radii for analytic functions defined on the unit disk $|z|<1$. In this article, we introduce and investigate Bohr-Rogosinski's radii for analytic functions defined for $|z|<1$. Also, we prove several different improved versions of the classical Bohr's inequality. Finally, we also discuss the Bohr-Rogosinski's radius for a class of subordinations. All the results are proved to be sharp.

研究动机与目标

• 定义并分析一种新量——玻尔-罗戈辛斯基和，将单位圆盘上解析函数的 $ |f(z)| $ 与泰勒系数的尾部相结合。
• 通过引入统一的半径概念，将经典玻尔不等式与罗戈辛斯基不等式统一，实现两种现象的插值。
• 在 $ \mathbb{D} $ 内 $ |f(z)| < 1 $ 的假设下，建立不等式 $ |f(z)| + \sum_{k=N}^\infty |a_k|r^k \leq 1 $ 的精确半径。
• 通过到边界距离的表达式，将玻尔-罗戈辛斯基现象推广至从属关系与单芽映射。

提出的方法

• 为在 $ \mathbb{D} $ 内满足 $ |f(z)| < 1 $ 的解析函数定义玻尔-罗戈辛斯基和 $ R_N^f(z) = |f(z)| + \sum_{k=N}^\infty |a_k|r^k $。
• 应用施瓦茨-皮克引理与惠尼尔的系数界，对 $ |f(z)| $ 和 $ |a_k| $ 进行控制，导出涉及 $ |a_0| $ 的不等式。
• 将精确半径 $ R_N $ 定义为方程 $ \psi_N(r) = 2(1+r)r^N - (1-r)^2 = 0 $ 的正实根，确保当 $ r \leq R_N $ 时 $ R_N^f(z) \leq 1 $。
• 通过形式为 $ f(z) = \frac{a - z}{1 - a z} $ 的极值函数证明精确性，表明当 $ r > R_N $ 时等式不成立。
• 通过使用函数 $ f(z) $ 的像域 $ \Omega $ 的边界距离 $ \text{dist}(f(z), \partial\Omega) $，将结果推广至从属关系。
• 建立基于距离的不等式：当 $ f $ 为单芽函数时，对所有 $ r \leq 5 - 2\sqrt{6} \approx 0.101 $，有 $ |g(z)| + \sum_{k=1}^\infty |b_k|r^k \leq |f(0)| + \text{dist}(f(0), \partial\Omega) $。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于所有在 $ \mathbb{D} $ 内满足 $ |f(z)| < 1 $ 的解析函数 $ f $，使得 $ |f(z)| + \sum_{k=N}^\infty |a_k|r^k \leq 1 $ 成立的最大半径 $ r $ 是多少？
• RQ2 玻尔-罗戈辛斯基和如何在经典玻尔现象与罗戈辛斯基现象之间实现插值？
• RQ3 能否通过几何距离表达式，将玻尔-罗戈辛斯基半径推广至从属于单芽或凸映射的函数？
• RQ4 当 $ f $ 为单芽函数时，使得对所有 $ g \prec f $，不等式 $ |g(z)| + \sum_{k=1}^\infty |b_k|r^k \leq |f(0)| + \text{dist}(f(0), \partial\Omega) $ 成立的最优半径 $ r_f $ 是多少？
• RQ5 所推导半径的精确性条件是什么？哪些极值函数能实现等式？

主要发现

• 玻尔-罗戈辛斯基半径 $ R_N $ 是方程 $ 2(1+r)r^N - (1-r)^2 = 0 $ 的正实根，且对所有 $ r \leq R_N $，不等式 $ |f(z)| + \sum_{k=N}^\infty |a_k|r^k \leq 1 $ 成立，通过当 $ a \to 1^- $ 时的函数 $ f(z) = \frac{a - z}{1 - a z} $ 证实了其精确性。
• 对于平方模版本，半径 $ R_N' $ 是方程 $ (1+r)r^N - (1-r)^2 = 0 $ 的正实根，且不等式 $ |f(z)|^2 + \sum_{k=N}^\infty |a_k|r^k \leq 1 $ 对 $ r \leq R_N' $ 成立，通过取 $ a = \sqrt{3/11} $ 与 $ r = \sqrt{11/27} $ 证明了精确性。
• 当 $ f $ 为单芽函数且 $ g \prec f $ 时，不等式 $ |g(z)| + \sum_{k=1}^\infty |b_k|r^k \leq |f(0)| + \text{dist}(f(0), \partial\Omega) $ 对所有 $ r \leq 5 - 2\sqrt{6} \approx 0.101021 $ 成立，且对克贝函数 $ f(z) = z/(1-z)^2 $ 证明了精确性。
• 对于凸单芽函数，半径可改进为 $ r_f = 1/5 $，且对 $ f(z) = z/(1-z) $ 该界限是精确的，通过系数与距离估计得到验证。
• 基于边界的距离表达式使得玻尔-罗戈辛斯基现象可推广至单位圆盘之外，从而可分析映射到任意单连通区域的函数。
• 所有推导出的半径均被证明是精确的，且通过显式构造极值函数表明：当 $ r > R_N $、$ R_N' $ 或 $ r_f $ 时，不等式均不成立。