[论文解读] Bohr-Sommerfeld-Heisenberg Quantization of the 2-dimensional Harmonic Oscillator

Richard Cushman, Jędrzej Śniatycki|arXiv (Cornell University)|Jul 5, 2012

Cold Atom Physics and Bose-Einstein Condensates参考文献 2被引用 6

一句话总结

本文利用玻尔-索末菲-海森堡规则对二维简谐振子进行了几何量子化，通过 $S^1$ 和 $
mathbb{Z}_2$ 对称性实现约化。它从玻尔-索末菲环面构建了量子希尔伯特空间，并表明约化系统生成了 $
rm{su}(2)$ 的有限维不可约表示，完全约化后的系统在能量为 $e = \hbar q$ 的量子态上实现了 $q+1$ 维的 $
rm{su}(2)$ 表示。该方法通过几何量子化和作用-角度变量，将经典可积系统与量子代数联系起来。

ABSTRACT

We study geometric quantization of the harmonic oscillator in terms of a singular real polarization given by fibres of the energy momentum map.

研究动机与目标

• 开发一种基于玻尔-索末菲-海森堡规则的几何量子化框架，适用于完全可积系统。
• 将该框架应用于二维简谐振子及其对称性约化系统。
• 证明约化系统生成 $
  rm{su}(2)$ 的有限维不可约表示。
• 从经典对称性构造量子算符（升降算符），并证明其代数封闭性。
• 通过 $A_i = m_i \hbar$ 建立经典作用变量与量子能级之间的对应关系。

提出的方法

• 通过能量-动量映射使用奇异实极化来定义玻尔-索末菲环面。
• 应用玻尔-索末菲量子化条件 $\int_{\Gamma_i} \theta_W = m_i h$ 以确定允许的量子态。
• 将希尔伯特空间 $\mathfrak{H}_U$ 构造为对应于玻尔-索末菲环面的 1 维子空间 $\mathfrak{H}_{T_\mathbf{m}}$ 的直和。
• 定义作用于基向量 $\mathbf{e}_\mathbf{m}$ 上的降算符和升算符 $\mathbf{a}_i$，以改变量子数 $m_i$。
• 将具有 $S^1$ 对称性的系统约化为 $
  mathbb{Z}_2$-不变系统，定义在 $\overline{D}^2_e$ 上，从而在约化相空间上引入泊松结构。
• 引入光滑函数 $\tau_\pm = \frac{1}{i\hbar}(\tau_1 \pm i\tau_2)$ 以定义满足 $
  rm{su}(2)$-代数对易关系的量子算符。

实验结果

研究问题

• RQ1 玻尔-索末菲-海森堡量子化程序如何系统地应用于二维简谐振子？
• RQ2 在对二维简谐振子进行 $S^1$ 对称性约化后，会产生何种量子表示？
• RQ3 进一步的 $
  mathbb{Z}_2$ 对称性约化如何影响系统的量子结构及其代数封闭性？
• RQ4 从经典对称性导出的量子算符是否在李代数下封闭？若是，是哪一个？
• RQ5 量子希尔伯特空间的维数及其不可约表示的分解方式为何？

主要发现

• 玻尔-索末菲-海森堡量子化生成的希尔伯特空间 $\mathfrak{H}_U$ 由正交基向量 $\mathbf{e}_\mathbf{m}$ 张成，其中 $\mathbf{e}_\mathbf{m}$ 对应于作用量子数 $m_i\hbar$。
• 在 $S^1$ 约化后，量子希尔伯特空间 $\widehat{\mathfrak{H}}_q$ 为 $q+1$ 维，并支持 $
  rm{su}(2)$ 的有限维不可约表示。
• 量子算符 $\mathbf{Q}_{\tau_+}$ 和 $\mathbf{Q}_{\tau_-}$ 在 $\widehat{\mathfrak{H}}_q$ 上作为升降算符作用，其系数为 $c_m = i\hbar\sqrt{2m(m-1)}$（$1 \leq m \leq q$）。
• 在 $\overline{D}^2_e$ 上由 $\tau_1, \tau_2, \widehat{A}$ 生成的泊松代数同构于 $
  rm{su}(2)$，其结构常数 $\{\tau_+, \tau_-, \widehat{A}\}$ 满足 $
  rm{su}(2)$ 对易关系。
• 完全约化后的系统在 $\widehat{\mathfrak{H}}_q$ 上实现了一个维度为 $q+1$ 的单个不可约 $
  rm{su}(2)$-表示，对应于能量 $e = \hbar q$。
• 量子算符 $\mathbf{Q}_{{\mathrm{e}}^{\pm i\widehat{\vartheta}}}$ 被光滑函数 $\tau_\pm$ 取代，从而实现在约化相空间上的一致量子化。