[论文解读] Bohr-Sommerfeld quantization condition for non-selfadjoint operators in dimension 2

Anders Melin, Johannes Sjoestrand|ArXiv.org|Nov 28, 2001

Spectral Theory in Mathematical Physics参考文献 9被引用 6

一句话总结

本文在不假设经典系统完全可积的条件下，为二维非自伴 $h$-伪微分算子建立了玻尔-索末菲量子化条件。通过在复域中应用 KAM 型定理构造复拉格朗日子叶，并求解具有小非线性的柯西-黎曼方程，作者证明了在固定 $h$-无关区域内的本征求解由实作用量上的量子化条件决定，从而将半经典谱理论推广至非自伴情形。

ABSTRACT

For a class of non-selfadjoint h-pseudodifferential operators in dimension 2, we determine all eigenvalues in an h-independent domain in the complex plane and show that they are given by a Bohr-Sommerfeld quantization condition. No complete integrability is assumed, and as a geometrical step in our proof, we get a KAM-type theorem (without small divisors) in the complex domain.

研究动机与目标

• 在复平面上的 $h$-无关区域内，确定一类二维非自伴 $h$-伪微分算子的所有本征值。
• 在不假设底层经典系统完全可积的条件下，为这些本征值推导出玻尔-索末菲型量子化条件。
• 利用复域中的 KAM 型定理，构造 $p^{-1}(0)$ 在实环面 $p^{-1}(0) \cap \mathbb{R}^4$ 附近的复拉格朗日子叶。
• 证明本征值由复平面 $\mathbb{C}^4$ 中满足 $\sigma|_\Gamma = 0$ 的环面 $\Gamma \subset \mathbb{C}^4$ 上的实作用量 $I_j(\Gamma)$ 决定。
• 建立谱问题与泛函 $I(\Lambda) = \int_\Lambda \log|p| \, \mu$ 相关的变分原理之间的联系。

提出的方法

• 构造一个光滑的二维环面族 $\Gamma_a \subset p^{-1}(0) \cap \mathbb{C}^4$，满足 $\sigma|_{\Gamma_a} = 0$ 且 $I_j(\Gamma_a) \in \mathbb{C}$，其依赖于复参数 $a$ 的全纯函数。
• 定义 $L_a = \{ \exp(\widehat{tH_p})(\rho) \mid \rho \in \Gamma_a, \, t \in \mathbb{C}, \, |t| < 1/C \} $，该集合在 $p^{-1}(0) \cap \mathbb{R}^4$ 附近形成 $p^{-1}(0)$ 的全纯子叶分解。
• 将 $\Gamma_a$ 的构造问题转化为在环面上求解具有单值梯度（梯度周期函数）的多值函数的哈密顿-雅可比方程。
• 将哈密顿-雅可比方程转化为具有小非线性的复柯西-黎曼方程，通过在非整数阶 $C^m$-空间中的迭代方法求解。
• 利用作用量 $I_j(\Gamma)$ 的实性，确保存在一个接近 $\mathbb{R}^4$ 的实拉格朗日流形 $\Lambda \subset \mathbb{C}^4$，使得 $\Gamma \subset \Lambda$。
• 对谱行列式应用渐近分析与泰勒展开，证明共振态满足关于 $h$ 的玻尔-索末菲型展开，其系数为 $2\pi h(k - \theta_0)$ 的齐次多项式。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在不假设完全可积性的前提下，为二维非自伴算子导出玻尔-索末菲量子化条件？
• RQ2 当经典流仅近似切于实水平集时，如何构造 $p^{-1}(0)$ 在实环面 $p^{-1}(0) \cap \mathbb{R}^4$ 附近的复拉格朗日子叶？
• RQ3 作用量 $I_j(\Gamma)$ 的实性在确保包含 $\Gamma$ 的实拉格朗日流形 $\Lambda$ 存在性中起什么作用？
• RQ4 算子的谱渐近性与复拉格朗日子叶及作用量变量之间的几何关系为何？
• RQ5 能否证明谱展开是关于 $h$ 的形式幂级数，其系数为 $2\pi h(k - \theta_0)$ 的齐次多项式？

主要发现

• 在 $h$-无关区域内，非自伴算子的本征值由玻尔-索末菲量子化条件给出，即使在不完全可积的情况下也成立。
• 在 $p^{-1}(0) \cap \mathbb{R}^4$ 附近构造了 $p^{-1}(0)$ 的复拉格朗日子叶 $L_a$，且 $L_a$ 依赖于复参数 $a$ 的全纯函数。
• 在 $\mathbb{C}^4$ 中存在环面 $\Gamma$ 满足 $\sigma|_\Gamma = 0$ 且 $I_j(\Gamma) \in \mathbb{R}$，当且仅当存在一个包含 $\Gamma$ 的实拉格朗日流形 $\Lambda$。
• 谱渐近性被证明具有形式 $z \sim \sum_{j=0}^\infty K_j(2\pi h(k - \theta_0), 1) h^j$，其中 $K_j(\theta, 1)$ 在 $0$ 的 $j$-无关邻域内光滑。
• 展开式中的系数 $K_{j,\ell}$ 为次数 $1 + \ell - j$ 的齐次多项式，且差值 $F_{j,\ell} = K_{j,\ell} - \widetilde{K}_{j,\ell}$ 无限阶趋于零，表明 $K_{j,\ell}$ 唯一确定。
• 最终的谱展开被证明是关于 $h$ 的形式幂级数，其系数为 $2\pi h(k - \theta_0)$ 的光滑函数，从而确认了玻尔-索末菲结构。