[论文解读] Boltzmann's Entropy and Kähler-Ricci Solitons

Frederick Fong|arXiv (Cornell University)|May 25, 2016

Geometry and complex manifolds参考文献 12被引用 4

一句话总结

本文通过从统计力学导出的玻尔兹曼型熵泛函 $χ$，建立了梯度凯勒-里奇孤立子的稳定性。通过计算 $χ$ 的二阶变分并证明其在孤立子处非正，作者提供了一种新证明：梯度收缩凯勒-里奇孤立子在佩雷尔曼的 $μ$-泛函下是稳定的，利用了 $χ$ 作为 $μ$-泛函的上界且在孤立子处取等的事实。

ABSTRACT

We study a Boltzmann's type entropy functional (which appeared in existing literature) defined on Kähler metrics of a fixed Kähler class. The critical points of this functional are gradient Kähler-Ricci solitons, and the functional was known to be monotonically increasing along the Kähler-Ricci flow in the canonical class. In this article, we derive and analyze the second variation formula for this entropy functional, and show that all gradient Kähler-Ricci solitons are stable with respect to this entropy functional. Furthermore, using this result, we give a new proof that gradient shrinking Kähler-Ricci solitons are stable with respect to the Perelman's entropy in a fixed Kähler class.

研究动机与目标

• 分析固定凯勒类中凯勒势上定义的玻尔兹曼型熵泛函 $χ$ 的二阶变分。
• 建立梯度凯勒-里奇孤立子相对于该熵泛函的稳定性。
• 利用熵泛函 $χ$ 作为上界，提供梯度收缩凯勒-里奇孤立子在佩雷尔曼 $μ$-泛函下稳定性的新证明。
• 将凯勒-里奇流上 $χ$ 的单调性与里奇势的统一有界性及孤立子的存在性联系起来。

提出的方法

• 定义熵泛函 $χ(\varphi) = \frac{1}{[\omega_0]^n} \int_X f_\varphi e^{-f_\varphi} \omega_\varphi^n$，其中 $f_\varphi$ 是满足 $\lambda \omega_\varphi - \text{Ric}(\omega_\varphi) = \sqrt{-1}\partial\bar{\partial}f_\varphi$ 的里奇势。
• 将 $\u03c7$ 表示为相对于概率测度 $d\nu_\varphi = e^{-f_\varphi} \omega_\varphi^n / [\omega_\varphi]^n$ 与 $d\mu_\varphi = \omega_\varphi^n / [\omega_\varphi]^n$ 的玻尔兹曼熵 $-\int \log(d\nu_\varphi/d\mu_\varphi) d\nu_\varphi$。
• 推导 $\u03c7(\varphi + t\psi)$ 在 $t=0$ 处关于光滑 $\psi$ 的二阶变分公式，证明其在梯度凯勒-里奇孤立子处非正。
• 证明 $\u03c7(\varphi + t\psi) + 2n(\tau_0 - 1)$ 沿路径 $g + t\nabla\bar{\nabla}\psi$ 是佩雷尔曼 $μ$-泛函的上界，且在 $t=0$ 时当 $\omega_\varphi$ 为孤立子时取等。
• 利用 $\u03c7$ 的二阶变分非正性，推导出 $μ$ 的二阶变分亦非正，从而恢复了 Tian–Zhu 的稳定性结果。
• 利用 $\u03c7$ 沿归一化凯勒-里奇流单调递增且通过詹森不等式有界，推导出 $f_\varphi$ 的统一下界。

实验结果

研究问题

• RQ1 在凯勒势的变分下，玻尔兹曼型熵泛函 $\u03c7$ 在梯度凯勒-里奇孤立子处是否稳定？
• RQ2 能否计算 $\u03c7$ 的二阶变分并证明其在孤立子处非正，从而暗示稳定性？
• RQ3 $\u03c7$ 是否作为佩雷尔曼 $μ$-泛函的上界，且在孤立子处取等？
• RQ4 能否利用 $\u03c7$ 的二阶变分，重新证明梯度收缩凯勒-里奇孤立子在 $μ$ 下的稳定性？
• RQ5 在凯勒-里奇流上 $\u03c7$ 的单调性与里奇势的统一有界性之间存在何种关系？

主要发现

• 在梯度凯勒-里奇孤立子处，熵泛函 $\u03c7$ 的二阶变分为非正，证明所有此类孤立子相对于 $\u03c7$ 是稳定的。
• $\u03c7(\varphi + t\psi)$ 沿形如 $g + t\nabla\bar{\nabla}\psi$ 的路径是佩雷尔曼 $μ$-泛函的上界，且在 $t=0$ 时当 $\omega_\varphi$ 为孤立子时取等。
• $μ$ 的二阶变分被 $\u03c7$ 的二阶变分上界控制，因此后者的非正性蕴含前者的非正性，从而给出 Tian–Zhu 稳定性结果的新证明。
• $\u03c7$ 的临界点恰好是梯度凯勒-里奇孤立子，即 $\text{Ric}(\omega_\varphi) + \nabla^2 f_\varphi = \lambda \omega_\varphi$。
• 在归一化凯勒-里奇流上 $\u03c7$ 的单调性意味着里奇势 $f_\varphi$ 有统一下界，这足以保证一致的直径与标量曲率有界性。
• $μ$ 的二阶变分为零当且仅当 $\nabla\psi$ 是一个实解析向量场，这与孤立子在解析向量场形变下的已知刚性一致。