[论文解读] Boltzmann's Entropy and Large Deviation Lyapunov Functionals for Closed and Open Macroscopic Systems

Joel L. Lebowitz|arXiv (Cornell University)|Dec 7, 2011

Advanced Thermodynamics and Statistical Mechanics参考文献 4被引用 6

一句话总结

本文证明了封闭与开放宏观系统中稳态测度的典型偏差函数（LDF）是其宏观演化方程的李雅普诺夫泛函。通过将玻尔兹曼熵与平衡及非平衡稳态的LDF相联系，本文表明LDF沿宏观轨迹单调增加，从而为孤立系统与具有热或粒子 reservoir 的开放系统中的热力学第二定律提供了严格的动力学解释。

ABSTRACT

I give a brief overview of the resolution of the apparent problem of reconciling time symmetric microscopic dynamic with time asymmetric equations describing the evolution of macroscopic variables. I then show how the large deviation function of the stationary state of the microscopic system can be used as a Lyapunov function for the macroscopic evolution equations.

研究动机与目标

• 解决由时间对称的微观动力学引发的时间不对称宏观行为的悖论。
• 建立宏观系统稳态中玻尔兹曼熵与典型偏差函数（LDF）之间的联系。
• 证明LDF是封闭与开放系统中宏观演化方程的李雅普诺夫泛函。
• 通过识别与多个 reservoir 耦合的系统的李雅普诺夫函数，将热力学第二定律推广至孤立系统之外。

提出的方法

• 将稳态测度的典型偏差函数（LDF）作为宏观演化方程的候选李雅普诺夫泛函。
• 对于孤立系统，LDF 等价于相对玻尔兹曼熵的相反数，即 S_B(M) - S_B(M_eq)，其沿演化路径单调增加直至达到平衡。
• 对于与单一热库接触的开放系统，LDF 表示为 F(M) = [E - T̄S_le]/T̄，其等于正则系综相对熵的相反数。
• 将LDF应用于受纳维-斯托克斯或反应-扩散型方程支配的系统，表明LDF沿宏观轨迹递减。
• 在零程过程等模型中，针对具有粒子 reservoir 的非平衡稳态（NESS），显式构造了李雅普诺夫泛函。
• 推导LDF泛函的时间导数并证明其非负，从而确认其李雅普诺夫行为。

实验结果

研究问题

• RQ1 稳态测度的典型偏差函数（LDF）能否作为宏观演化方程的李雅普诺夫泛函？
• RQ2 在平衡与非平衡稳态中，玻尔兹曼熵与典型偏差函数之间有何关系？
• RQ3 对于具有多个 reservoir 的开放系统，第二定律的适当推广是什么？
• RQ4 能否显式计算 LDF 并证明其在非平衡系统中沿宏观轨迹单调递减？

主要发现

• 在孤立系统中，稳态测度的典型偏差函数（LDF）等价于相对玻尔兹曼熵的相反数，即 S_B(M) - S_B(M_eq)，并作为宏观演化方程的李雅普诺夫泛函。
• 对于与温度为 T̄ 的单一热库接触的系统，LDF F(M) = [E - T̄S_le]/T̄ 是李雅普诺夫函数，其时间导数非负，证实了熵产生。
• 在具有不同密度粒子 reservoir 的零程过程中，LDF 显式构造为 F(σ) = ∫_V F_u(σ(x)) dx，其时间导数被证明非负。
• 纳维-斯托克斯方程的 LDF 被证明是李雅普诺夫泛函，将第二定律推广至流体动力学尺度的演化。
• 在具有多个热库的系统中，总熵产生非负，且非平衡稳态（NESS）的 LDF 作为李雅普诺夫泛函。
• 该方法适用于具有混合狄利克雷/诺伊曼边界条件的系统，以及如 ∂_t ρ = ∇²σ(ρ) - E∇σ(ρ) 等场论，确认了 LDF 的单调性。