[论文解读] Bombieri--Vinogradov and Barban--Davenport--Halberstam type theorems for smooth numbers

Adam J. Harper|arXiv (Cornell University)|Aug 29, 2012

Analytic Number Theory Research参考文献 18被引用 18

一句话总结

本文在范围 $\log^K x \leq y \leq x$ 内建立了关于 $y$-光滑数的 Bombieri–Vinogradov 与 Barban–Davenport–Halberstam 型定理，扩展了以往要求 $y \geq \exp(\log^{2/3+\epsilon}x)$ 的结果。通过结合零点密度估计与直接的大筛法应用，作者获得了光滑数上特征和的有效界，显著扩展了有效范围，并实现了具有平方根抵消的个体估计。

ABSTRACT

We prove Bombieri--Vinogradov and Barban--Davenport--Halberstam type theorems for the y-smooth numbers less than x, on the range log^{K}x \leq y \leq x. This improves on the range \exp{log^{2/3 + ε}x} \leq y \leq x that was previously available. Our proofs combine zero-density methods with direct applications of the large sieve, which seems to be an essential feature and allows us to cope with the sparseness of the smooth numbers. We also obtain improved individual (i.e. not averaged) estimates for character sums over smooth numbers.

研究动机与目标

• 将 Bombieri–Vinogradov 与 Barban–Davenport–Halberstam 型定理在 $y$-光滑数上的有效范围扩展至超过此前 $\exp(\log^{2/3+\epsilon}x)$ 的阈值。
• 为光滑数上的平均与个体特征和建立有效与无效界，实现平方根抵消。
• 通过结合零点密度方法与直接的大筛法应用，应对 $y$ 较小时光滑数的稀疏性。
• 提供光滑数上特征和的改进个体估计，而不仅限于平均界。
• 证明大筛法在处理光滑数稀疏性方面至关重要，特别是在 $\log^K x \leq y \leq x$ 范围内。

提出的方法

• 利用狄利克雷 $L$-函数的零点密度估计以控制异常零点，并改进光滑数上特征和的界。
• 直接将大筛法应用于光滑数，将其视为稀疏集，这对于处理 $\log^K x \leq y \leq x$ 范围内的稀疏性至关重要。
• 使用 $L$-函数的显式公式与分部求和法来界定加权特征和，特别是 $\sum_{n \leq X} \Lambda(n)\chi(n)/n^{it}$。
• 将 $n$ 上的和进行 dyadic 分解，划分为 dyadic 区间 $[2^j z^{1/100}, 2^{j+1} z^{1/100}]$，以应用局部估计。
• 在第一种情况下使用无对数的零点密度估计，在第二种情况下使用标准的零点分布界，以控制 $L$-函数非平凡零点上的和。
• 利用 $L(s,\chi)$ 的函数方程，将 $L'(it,\chi)/L(it,\chi)$ 与 $L'(1-it,\bar{\chi})/L(1-it,\bar{\chi})$ 关联，从而实现对对数导数的有效界。

实验结果

研究问题

• RQ1 Bombieri–Vinogradov 与 Barban–Davenport–Halberstam 型定理能否在 $\log^K x \leq y \leq x$ 范围内扩展至 $y$-光滑数？
• RQ2 大筛法在处理如光滑数这类稀疏集时是否有效，特别是在 $y$ 较小时？
• RQ3 即使标准零点密度方法失效，能否为光滑数上的特征和获得有效界？
• RQ4 对于平均分布的光滑数在算术级数中的分布，$Q$ 的最优范围是什么？
• RQ5 光滑数上的个体特征和估计能否实现平方根抵消？其与平均情况相比如何？

主要发现

• Bombieri–Vinogradov 型定理在 $\log^K x \leq y \leq x$ 且 $Q \leq \sqrt{\Psi(x,y)}$ 时成立，有效误差项包含 $e^{-c u / \log^2(u+1)} + y^{-c}$，其中 $u = \log x / \log y$。
• 对于 Barban–Davenport–Halberstam 型定理，平方误差和的上界为 $\ll \Psi(x,y)^2 (e^{-c u / \log^2(u+1)} + y^{-c}) + \Psi(x,y) Q$，其中绝对常数与有效常数均隐含。
• 有效界中包含一项 $\ll \sqrt{\Psi(x,y)} Q \log^{7/2}x$，反映了平均和中的平方根抵消。
• 结果将先前范围从 $\exp(\log^{2/3+\epsilon}x)$ 扩展至 $\log^K x$，显著拓宽了光滑数的应用范围。
• 本文表明，大筛法在稀疏区域中至关重要，因为仅靠直接应用零点密度方法不足以处理稀疏性。
• 获得了改进的个体特征和估计，其界的形式为 $\ll \sqrt{X} \log^2(rzH) + X^{1-0.9\epsilon}$，在 $z$ 与 $H$ 满足适当条件时成立。