[论文解读] Book embeddings of graphs and a theorem of Whitney

Paul C. Kainen, Shannon Overbay|arXiv (Cornell University)|Oct 2, 2021

Advanced Graph Theory Research参考文献 13被引用 14

一句话总结

本文证明了一个结构良好的平面图（即每个三角形都围成一个面）可实现两页书本嵌入，扩展了惠特尼的定理。研究证明图的书本厚度由其块的最大书本厚度决定，从而为 X-树和正方形网格提供了高效的嵌入方法，并表明平面图同胚于书本厚度至多为二的图。

ABSTRACT

It is shown that the number of pages required for a book embedding of a graph is the maximum of the numbers needed for any of the maximal nonseparable subgraphs and that a plane graph in which every triangle bounds a face has a two-page book embedding. The latter extends a theorem of H. Whitney and gives two-page book embeddings for $X$-trees and square grids.

研究动机与目标

• 将惠特尼关于平面图中哈密顿圈的定理扩展到一类具有三角形面的更广泛图类。
• 通过图的块分解表征图的书本厚度，特别关注不可分子图。
• 为 X-树和正方形网格等重要图族提供统一的两页书本嵌入证明框架。
• 通过同胚关系建立平面性与书本嵌入之间的联系，表明平面图同胚于书本厚度至多为二的图。

提出的方法

• 使用图的块分解，证明书本厚度等于其所有块（最大不可分子图）的书本厚度的最大值。
• 应用一个引理：图的书本厚度等于其块的书本厚度的最大值，该引理由沿块-点树的归纳构造证明。
• 将‘结构良好的平面图’定义为每个三角形都围成一个面的图，以确保书本嵌入所需的结构刚性。
• 通过仔细添加顶点和边，在结构良好的图的扩展版本中构造一个哈密顿圈，避免出现分离三角形。
• 利用子哈密顿图（即在超图中存在哈密顿圈的图）可实现两页书本嵌入的事实。
• 应用拓扑图论，通过边细分确保偶圈，证明平面图同胚于书本厚度至多为二的图。

实验结果

研究问题

• RQ1 惠特尼关于平面图中哈密顿圈的定理能否推广到每个三角形都围成一个面的图类？
• RQ2 书本厚度与图的块分解之间存在何种关系？
• RQ3 X-树和正方形网格是否可实现两页书本嵌入？若是，原因是什么？
• RQ4 每个平面图是否同胚于书本厚度至多为二的图？
• RQ5 图的书本厚度是否可仅由其块的最大书本厚度决定？

主要发现

• 图的书本厚度等于其块的最大书本厚度，该结果通过在块-点树上的归纳构造得以证明。
• 每个结构良好的平面图（即每个三角形都围成一个面）均可实现两页书本嵌入，扩展了惠特尼定理。
• X-树和正方形网格是子哈密顿图，因此可实现两页书本嵌入，为此前通过直接计算证明的图族提供了通用证明。
• 平面图同胚于书本厚度至多为二的图，且此类嵌入可构造为至多有 p−2 个脊线交叉（p 为顶点数）。
• 二分平面图（三角形自由，因此属于结构良好的平面图）可实现两页书本嵌入。
• 该结果表明，查特兰德、盖勒和赫德特尼米关于平面图可表示为两个外平面图的边不相交并集的猜想，对结构良好的平面图成立。