[论文解读] Boolean functions whose Fourier transform is concentrated on pairwise disjoint subsets of the input

Aviad Rubinstein, Muli Safra|arXiv (Cornell University)|Dec 30, 2015

Rough Sets and Fuzzy Logic参考文献 5被引用 5

一句话总结

该论文证明，任何在 {±1}^m 上的平衡布尔函数，若其傅里叶变换集中在不相交的变量子集上，则即使在底层变量非均匀或非布尔的情况下，该函数也必接近于单个独裁函数。该结果将 FKN 定理推广至非均匀设置，并表明基于方差的近似界是紧致的，对社会选择与计算复杂性具有启示意义。

ABSTRACT

We consider Boolean functions f:{-1,1}^n->{-1,1} that are close to a sum of independent functions on mutually exclusive subsets of the variables. We prove that any such function is close to just a single function on a single subset. We also consider Boolean functions f:R^n->{-1,1} that are close, with respect to any product distribution over R^n, to a sum of their variables. We prove that any such function is close to one of the variables. Both our results are independent of the number of variables, but depend on the variance of f. I.e., if f is ε*Var(f)-close to a sum of independent functions or random variables, then it is O(ε)-close to one of the independent functions or random variables, respectively. We prove that this dependence on Var(f) is tight. Our results are a generalization of the Friedgut-Kalai-Naor Theorem [FKN'02], which holds for functions f:{-1,1}^n->{-1,1} that are close to a linear combination of uniformly distributed Boolean variables.

研究动机与目标

• 将 FKN 定理推广至 {±1}^n 上的非均匀乘积分布，其中变量可能不具备对称性或布尔性。
• 研究一个布尔函数若接近于在不相交变量子集上独立函数的和，是否必须接近于单个此类函数。
• 建立近似误差对方差依赖关系的紧致性。
• 探索傅里叶系数被限制在不相交变量子集上的布尔函数的结构特征。
• 推测此类函数可由一个中心布尔函数（例如 OR 或 AND）复合每个子集上的独立函数良好近似。

提出的方法

• 分析在一般乘积分布下布尔函数 f: {±1}^m → {±1} 的傅里叶变换，重点关注系数在不相交子集上的集中性。
• 使用基于方差的误差界，证明若 f 在 ε·Var(f) 范围内接近于不相交变量集上独立函数的和，则 f 必为 O(ε) 范围内接近于其中之一。
• 应用布尔函数分析中的技术，包括影响与噪声敏感性，并将 Friedgut 的 Junta 引理推广至非均匀设置。
• 构造显式反例，表明近似界中方差的依赖关系是紧致的。
• 提出一个猜想：傅里叶支撑集中在不相交子集上的函数，可由一个中心函数（OR 或 AND）复合每个子集上的独立函数良好近似。
• 采用 ℓ2 距离（L2 范数）衡量 f 与候选函数之间的近似误差，误差界以 ε 和绝对常数表示。

实验结果

研究问题

• RQ1 FKN 定理能否推广至 {±1}^n 上的非均匀乘积分布，其中变量不具备对称性或布尔性？
• RQ2 若一个布尔函数接近于在不相交变量子集上独立函数的和，是否必须接近于单个此类函数？
• RQ3 在这些设置下，近似误差对方差的最优依赖关系为何？
• RQ4 是否存在傅里叶系数被限制在不相交变量子集上的布尔函数的结构特征？
• RQ5 此类函数是否可由一个中心布尔函数（例如 OR 或 AND）复合每个子集上的独立函数良好近似？

主要发现

• 任何平衡布尔函数 f: {±1}^m → {±1}，若其傅里叶变换集中在不相交的变量子集上，则当其在 ε·Var(f) 范围内接近于这些子集上独立函数的和时，必为 O(ε) 范围内接近于单个独裁函数。
• 近似界中方差的依赖关系是紧致的，通过显式反例证明该方差缩放无法改进。
• 该结果将 FKN 定理推广至非均匀乘积分布，包括 p-偏置情形，且即使单个函数非布尔或非对称也适用。
• 对于在任意乘积分布下接近于独立随机变量和的 ℝ^n 上的函数，若其在 ε·Var(f) 范围内接近于该和，则其必为 O(ε) 范围内接近于某一变量。
• 本文提出猜想：此类函数可由一个中心函数（OR 或 AND）复合每个子集上的独立函数良好近似，且 ℓ2 误差被一个绝对常数乘以 ε 所有界。
• 结构猜想表明，此类函数的唯一极端例子是：在不相交子集上独立函数的复合，再通过一个全局布尔函数（如部落类函数，即 OR of ANDs）组合而成。