[论文解读] Boolean lattice without small rainbow subposets

Gyula O. H. Katona, Yaping Mao+3 more|arXiv (Cornell University)|Jan 31, 2026

Limits and Structures in Graph Theory被引用 0

一句话总结

该论文研究布尔格的精确 k 着色，避免彩虹诱导副序的较小偏序，导出布尔 Gallai-Ramsey 与彩虹 Ramsey 数量，并给出结构性刻画及若干精确结果。

ABSTRACT

A Boolean lattice $\mathcal{B}_n=(2^X, \leq)$ is the power set of an $n$-element ground set $X$ equipped with inclusion relation. For two posets $\mathcal{P}$ and $\mathcal{Q}$, we say that $\mathcal{Q}$ contains an \emph{induced copy} of $\mathcal{P}$ if there exists an injection $f : \mathcal{P} o \mathcal{Q}$ such that $f(X) \le f(Y)$ if and only if $X \le Y$ in $\mathcal{P}$. A $k$-coloring is exact if all colors are used at least once. For posets $\mathcal{Q}$ and $\mathcal{P}$, the \emph{Boolean Gallai-Ramsey number} $\operatorname{GR}_{k}(\mathcal{Q}:\mathcal{P})$ is defined as the smallest $n$ such that any exact $k$-coloring of the sets in $\mathcal{B}_n$ contains either a rainbow induced copy of $\mathcal{Q}$ or a monochromatic induced copy of $\mathcal{P}$ and the \emph{Boolean rainbow Ramsey number} $\operatorname{RR}(\mathcal{Q}:\mathcal{P})$ is defined as the smallest $n$ such that any coloring of the sets in $\mathcal{B}_n$ contains either a rainbow induced copy of $\mathcal{Q}$ or a monochromatic induced copy of $\mathcal{P}$. In this paper, we first study the structural properties of exact $k$-colorings of the sets in Boolean lattice without rainbow induced copy of small posets. As the application of these results, we give exact values and some bounds of Boolean Gallai-Ramsey numbers and Boolean rainbow Ramsey numbers, which improve a result of Chen, Cheng, Li, and Liu in 2020 and give an answer of a question proposed by Chang, Gerbner, Li, Methuku, Nagy, Patkós, and Vizer in 2022.

研究动机与目标

• 表征避免彩虹诱导副序的布尔格的精确 k 着色（具体为 C3、叉形 72、B2）。
• 利用这些结构结果确定或给出布尔 Gallai-Ramsey 数与布尔彩虹 Ramsey 数对于某些偏序对的界。
• 改进文献中的现有界，并解答关于在布尔格中固定颜色的彩虹-避免问题的开放问题。

提出的方法

• 证明描述布尔格 B_n 的精确 k 着色在避免彩虹诱导副序 C3、叉形 72、B2 的结构定理（定理 2.1、2.3、2.4）。
• 在相关讨论中使用布尔格的区间记法与 Lubell 函数（第 2 节）。
• 应用结构刻画得到选定偏序对的精确 GR_k(Q:P)（定理 1.1、1.2）。
• 通过 Blob 引理启发的方法导出彩虹 Ramsey 数的上界 RR(B_m:B_n)（定理 1.4）。
• 将 Lubell 有界性与彩虹-避免联系起来，得到 RR(∨2:P) 的结果（定理 1.6）。

实验结果

研究问题

• RQ1 哪些结构约束刻画了避免彩虹诱导副序 C3、҉ g2、B2 的布尔格 B_n 的精确 k 着色？
• RQ2 针对选定偏序对，布尔 Gallai-Ramsey 数 GR_k(Q:P) 的精确值或界限是什么？
• RQ3 涉及 B_m 与 B_n 的布尔彩虹 Ramsey 数 RR(Q:P) 的值，以及它们与先前界限的比较？
• RQ4 P 的统一 Lubell-有界性如何影响 RR(҉ g2:P) 的数值？

主要发现

• 为避免彩虹 C3、҉ g2、B2 的着色给出精确的结构性刻画（定理 2.1、2.3、2.4）。
• 在某些 k、s 区间内确定 GR_k(C3:C_s)（定理 1.1）。
• 对于若干 k、s 情况，GR_k(∨2:C_s) 完全解决（定理 1.2）。
• GR_k(B2:B_n) 给出上界，且根据 k 相对于 R_3(B_n) 的关系分情况（定理 1.3）。
• RR(B_m:B_n) 的上界为 m R_{2^m-1}(B_n) + m，并与先前界限相比（定理 1.4）。
• 针对 m=2 的情况，RR(B_n:B_m) 的边界被细化，提供比以往结果更紧的上界（定理 1.5）。
• RR(∨2:P) 对于统一诱导 Lubell 有界的 P，成立公式 RR(∨2:P)=2e(P)+1（定理 1.6）。