[论文解读] Boolean-like algebras of finite dimension

Antonio Bucciarelli, Antonio Ledda+2 more|arXiv (Cornell University)|Jun 18, 2018

Advanced Algebra and Logic参考文献 26被引用 3

一句话总结

本文引入了有限維度的類布爾代數（nBAs），通過 n 元 if-then-else 運算和 n 個中心元素對布爾代數進行推廣。將布爾冪構造推廣至半環冪，證明任何純 nBA 同構於某個布爾向量空間的 n 中心元素代數，且任何具有單一生成元的 nBA 類中的成員均為該生成元的布爾冪——從而為福斯特關於純粹類的定理提供了新的代數證明。

ABSTRACT

We continue the investigation of Boolean-like algebras of dimension n (nBA) having n constants e1,...,en, and an (n+1)-ary operation q (a "generalised if-then-else") that induces a decomposition of the algebra into n factors through the so-called n-central elements. Varieties of nBAs share many remarkable properties with the variety of Boolean algebras and with primal varieties. Exploiting the concept of central element, we extend the notion of Boolean power to that of semiring power and we prove two representation theorems: (i) Any pure nBA is isomorphic to the algebra of n-central elements of a Boolean vector space; (ii) Any member of a variety of nBAs with one generator is isomorphic to a Boolean power of this generator. This gives a new proof of Foster's theorem on primal varieties.

研究动机与目标

• 透過 n 元 if-then-else 運算和 n 個中心元素，將布爾代數推廣至有限維結構。
• 研究 nBAs 類的普遍代數性質，表明其與布爾代數及純粹類共享關鍵特徵。
• 將布爾冪構造推廣至半環冪，使 nBAs 在任意半環上具有表示定理。
• 利用 nBA 的結構，為福斯特關於純粹類的定理提供新的代數證明。

提出的方法

• 將 nBA 定義為具備 n 個常數 e₁,…,eₙ 和 (n+1) 元運算 q 的代數，該運算透過 n 個中心元素實現分解為 n 個因子。
• 定義代數 E 在半環 R 上的半環冪 E[R] 為某個半模中中心元素的代數，從而推廣布爾冪。
• 證明當 R 為布爾代數時，半環冪 E[R] 同構於經典布爾冪，確立其與既有理論的一致性。
• 建立對於任意半環 R，半環冪 E[R] 同構於 R 中補集與可交換元素所生成的布爾代數的 E 的布爾冪。
• 利用 n 中心元素的結構，證明任何純 nBA 可嵌入 n^I，因此同構於某個布爾向量空間的 n 中心元素代數。
• 將表示定理應用於證明：任何具有單一生成元的 nBA 類中的成員均同構於該生成元的布爾冪，從而提供福斯特定理的新證明。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何利用 nBAs 中的 n 中心元素，將布爾冪構造從布爾代數推廣至任意半環？
• RQ2 nBAs 類的結構性質與布爾代數及純粹類有何共通之處？
• RQ3 是否每個純 nBA 均可表示為某個布爾向量空間中 n 中心元素的代數？
• RQ4 是否每個具有單一生成元的 nBA 類中的成員均同構於該生成元的布爾冪？
• RQ5 擴展的半環冪構造是否能為福斯特關於純粹類的定理提供新證明？

主要发现

• 任何純 nBA 同構於某個布爾向量空間的 n 中心元素代數，為純 nBAs 提供了表示定理。
• 任何具有單一生成元的 nBA 類中的成員同構於該生成元的布爾冪，從而擴展了經典布爾冪框架。
• 半環冪構造將布爾冪推廣至任意半環，且半環冪 E[R] 同構於 R 中補集與可交換元素所生成的布爾代數的 E 的布爾冪。
• 當半環 R 為布爾代數時，半環冪構造恢復經典布爾冪，驗證了其一致性。
• 純 nBA 的類是純粹的，即 n 元代數上的所有有限函數均可由項定義，推廣了二元布爾代數的純粹性。
• 這些結果為福斯特定理提供了新證明，表明任何由純粹代數生成的類中的代數均為生成元的布爾冪。