[论文解读] Boolean product polynomials and Schur-positivity

Louis J. Billera, Sara Billey+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 8, 2018

Advanced Combinatorial Mathematics参考文献 10被引用 3

一句话总结

本文通过将布尔乘积多项式与向量丛的全陈类通过Fulton-Lazarsfeld正性联系起来，建立了布尔乘积多项式的Schur正性——即对0-1向量的子集和的乘积所定义的对称多项式。关键结果是，所有此类多项式，包括含两个字母表的多变量推广形式，均以非负整数系数展开为Schur函数，从而解决了对称函数理论与超平面排列领域长期存在的问题。

ABSTRACT

We study a family of symmetric polynomials that we refer to as the Boolean product polynomials. The motivation for studying these polynomials stems from the computation of the characteristic polynomial of the real matroid spanned by the nonzero vectors in $\mathbb{R}^n$ all of whose coordinates are either $0$ or $1$. To this end, one approach is to compute the zeros of the Boolean product polynomials over finite fields. The zero loci of these polynomials cut out hyperplane arrangements known as resonance arrangements, which show up in the context of double Hurwitz polynomials. By relating the Boolean product polynomials to certain total Chern classes of vector bundles, we establish their Schur-positivity by appealing to a result of Pragacz relying on earlier work on numerical positivity by Fulton-Lazarsfeld. Subsequently, we study a two-alphabet version of these polynomials from the viewpoint of Schur-positivity. As a special case of these polynomials, we recover symmetric functions first studied by Désarménien and Wachs in the context of descents in derangements.

研究动机与目标

• 建立(n,k)阶布尔乘积多项式$B_{n,k}(X)$的Schur正性，该多项式定义为所有$k$元子集$S \subseteq [n]$的子集和$X_S = \sum_{i \in S} x_i$的乘积。
• 将该结果推广至双字母表版本$\mathcal{P}_{j,k}(X,Y)$，其中多项式由$X$的$j$子集与$Y$的$k$子集的和$X_S + Y_T$构成，并证明其在两个字母表中均为Schur正。
• 将这些多项式与几何与组合对象（如共振排列、最小平衡集合族及超平面排列的区域）联系起来。
• 探索与表示理论的关联，包括$\mathfrak{S}_n$-模的Frobenius特征与高阶Lie模。
• 研究组合解释，如与正定阵（positroids）及序列$\sum_{k=0}^n \frac{n!}{k!}$的联系，并提出广义Robinson-Schensted算法的潜在推广。

提出的方法

• 使用向量丛方法：将$B_{n,k}(X)$解释为秩为$n$的向量丛$\mathcal{E}$的$k$次外幂$\bigwedge^k \mathcal{E}$的全陈类，其陈根为$x_1, \dots, x_n$。
• 应用Pragacz关于数值正性的定理，该定理保证全局生成向量丛的全陈类为Schur正。
• 通过定义$\mathcal{P}_{j,k}(X,Y) = \prod_{|S|=j, |T|=k} (X_S + Y_T)$，将结果推广至双字母表，其等于$e_p(\bigwedge^j \mathcal{E} \otimes \bigwedge^k \mathcal{F})$的初等对称函数。
• 利用$\mathcal{P}_{j,k}(X,Y)$是$\mathfrak{S}_n \times \mathfrak{S}_m$-模的Frobenius特征这一事实，并借助Schur正性定理推导其在Schur函数乘积中的展开。
• 借助已知的对称函数恒等式（如$\mathcal{P}_{1,1}(X,Y) = \prod_{i,j} (x_i + y_j)$的对偶Cauchy恒等式）来启发组合解释。
• 使用有限域方法将$B_n(X)$的零点集与共振排列及其区域联系起来，后者计数极大非平衡集合族与广义推迟函数。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于所有$n$与$k \leq n$，布尔乘积多项式$B_{n,k}(X)$是否为Schur正？
• RQ2 能否通过涉及向量丛与陈类的几何方法建立$B_{n,k}(X)$的Schur正性？
• RQ3 双字母表推广形式$\mathcal{P}_{j,k}(X,Y)$是否也产生在两组变量中均为Schur正的对称函数？
• RQ4 Frobenius特征$B_{n,n-1}(X;1)$（其维数为$\sum_{k=0}^n \frac{n!}{k!}$）的组合或表示理论意义为何？
• RQ5 是否存在一种组合规则（如广义的Robinson-Schensted插入算法），可解释$\mathcal{P}_{j,k}(X,Y)$的Schur正性？

主要发现

• $(n,k)$阶布尔乘积多项式$B_{n,k}(X)$是Schur正的：$B_{n,k}(X) = \sum_{\lambda} \kappa_{\lambda}^{(n,k)} s_\lambda(X)$，其中$\kappa_{\lambda}^{(n,k)} \in \mathbb{Z}_{\geq 0}$。
• 全布尔乘积多项式$B_n(X) = \prod_{k=1}^n B_{n,k}(X)$也是Schur正的，将结果扩展至完整的共振排列。
• 双字母表多项式$\mathcal{P}_{j,k}(X,Y)$在两个字母表中均为Schur正：$\mathcal{P}_{j,k}(X,Y) = \sum_{\lambda,\mu} a_{\lambda\mu} s_\lambda(X)s_\mu(Y)$，其中$a_{\lambda\mu} \in \mathbb{Z}_{\geq 0}$。
• 当$q=1$时，Frobenius特征$B_{n,n-1}(X;1)$对应于维数为$\sum_{k=0}^n \frac{n!}{k!}$的$\mathbb{C}\mathfrak{S}_n$-模，该维数计数$[n]$上的正定阵。
• 多项式$\mathcal{P}_{1,1}(X,Y) = \prod_{i=1}^n \prod_{j=1}^m (x_i + y_j)$通过对偶Cauchy恒等式为Schur正，为一般化提供了已知的基例。
• 该工作暗示布尔乘积多项式与高阶Lie模之间可能存在联系，因为$B_{n,n-1}(X)$与所有不含大小为1的分拆$\lambda$的$\mathrm{Lie}_\lambda(V)$的Frobenius特征之和一致。