[论文解读] Bootstrap confidence bands for spectral estimation of Lévy densities under high-frequency observations

Kengo Kato, Daisuke Kurisu|arXiv (Cornell University)|May 1, 2017

Statistical Methods and Inference参考文献 18被引用 7

一句话总结

本文提出了一种基于高采样频率离散观测的非参数谱估计方法，用于构建 Lévy 密度的自助置信带。该研究开发了新颖的高斯乘子自助与经验自助程序，适用于不包含原点的紧致集上的统一置信带，并在较弱正则性条件下，为包括变型稳定过程和正态逆高斯过程在内的广泛 Lévy 过程类建立了渐近有效性。

ABSTRACT

This paper develops bootstrap methods to construct uniform confidence bands for nonparametric spectral estimation of Lévy densities under high-frequency observations. We assume that we observe $n$ discrete observations at frequency $1/Δ> 0$, and work with the high-frequency setup where $Δ= Δ_{n} o 0$ and $nΔ o \infty$ as $n o \infty$. We employ a spectral (or Fourier-based) estimator of the Lévy density, and develop novel implementations of Gaussian multiplier (or wild) and empirical (or Efron's) bootstraps to construct confidence bands for the spectral estimator on a compact set that does not intersect the origin. We provide conditions under which the proposed confidence bands are asymptotically valid. Our confidence bands are shown to be asymptotically valid for a wide class of Lévy processes. We also develop a practical method for bandwidth selection, and conduct simulation studies to investigate the finite sample performance of the proposed confidence bands.

研究动机与目标

• 从高采样频率离散观测中构建非参数谱估计器的 Lévy 密度的统一置信带。
• 解决在高采样频率设定下，Lévy 测度在原点附近奇异时对 Lévy 密度推断的挑战。
• 开发自助方法——特别是高斯乘子自助与经验自助——这些方法在不包含原点的紧致集上对谱估计器具有渐近有效性。
• 提出一种实用的带宽选择方法，并通过模拟评估有限样本性能。
• 将推断工具扩展至广泛的 Lévy 过程类，包括复合泊松过程、变方差伽马过程、逆高斯过程以及变型稳定过程。

提出的方法

• 采用基于特征函数反演的谱（傅里叶基）估计器来估计 Lévy 密度。
• 对谱估计器应用高斯乘子和经验自助重抽样，以构建统一置信带。
• 在不包含原点的紧致区间上实施自助程序，以避免 Lévy 密度中的奇异性问题。
• 采用基于核的平滑方法，带宽为 $ h $，其中 $ h \gtrsim \Delta^{1/2} $，并通过 $ h $ 和 $ n\Delta \to \infty $ 控制偏差与方差。
• 通过验证在高采样频率渐近下，Lévy 密度、特征函数和抽样方案的条件，推导出渐近有效性。
• 利用集中不等式和经验过程理论（例如，Chernozhukov 等，2014a）控制自助近似中的随机误差。

实验结果

研究问题

• RQ1 在高采样频率抽样下，能否使用自助方法构建谱估计器的 Lévy 密度的渐近有效统一置信带？
• RQ2 在该非参数谱估计框架中，哪些条件可确保高斯乘子与经验自助程序的渐近有效性？
• RQ3 所提出的置信带性能如何依赖于带宽和采样频率的选择？
• RQ4 所提出的置信带对哪些类别的 Lévy 过程具有渐近有效性？
• RQ5 能否开发一种实用的带宽选择方法，以在有限样本中平衡偏差与方差？

主要发现

• 所提出的自助置信带对广泛的 Lévy 过程类具有渐近有效性，包括复合泊松过程、变方差伽马过程、逆高斯过程以及稳定性指数 ≤ 1 的变型稳定过程。
• 在适当的 Lévy 密度和带宽条件下，谱估计器的收敛速度为 $ \|\widehat{\rho} - \rho\|_{w,\infty} = O_{\mathrm{P}}(\chi_n + h^r + h^{-1}|\widehat{\sigma}^2 - \sigma^2|) $。
• 在额外的正则性和带宽条件下，主导项 $ \chi_n \lesssim (n\Delta h)^{-1/2}(\log n)^{1/2} $，该主导项决定了收敛速度。
• 在相同的正则性条件下，经验自助与高斯乘子自助均能产生渐近有效的置信带。
• 模拟研究证实了良好的有限样本性能，尤其在采用数据驱动方法选择带宽时表现更优。
• 该方法对布朗运动分量的存在具有鲁棒性，并适用于具有重尾或有界跳跃动态的 Lévy 过程。