[论文解读] Bootstrap for the sample mean and for U-Statistics of stationary processes

Olimjon Sh. Shapirov, Martin Wendler|arXiv (Cornell University)|Dec 14, 2009

Complex Systems and Time Series Analysis被引用 2

一句话总结

本文在绝对平稳性（β-混合）条件下，建立了非重叠块自抽样方法在样本均值和U统计量上的强一致性，将自抽样有效性的适用范围从强混合过程扩展至混沌动力系统的非线性泛函。该方法确保了在弱依赖平稳过程下，对如基尼均差和卡方检验统计量等统计量的可靠推断。

ABSTRACT

The validity of various bootstrapping methods has been proved for the sample mean of strongly mixing data. But in many applications, there appear nonlinear statistics of processes that are not strongly mixing. We investigate the nonoverlapping block bootstrap for functionals of absolutely regular processes, which occur from chaotic dynamical systems. We establish the strong consistency of the bootstrap distribution estimator not only for the sample mean, but also for U-statistics, which include examples as Gini’s mean difference or the x 2-test statistic. AMS subject classification: 62G09, 60G10.

研究动机与目标

• 将自抽样有效性的适用范围从强混合过程扩展至绝对平稳性（β-混合）过程。
• 建立非线性统计量（如U统计量）的自抽样分布估计量的强一致性。
• 支持在混合条件较弱的混沌动力系统中函数泛函的推断。
• 为在实际应用中使用非重叠块自抽样方法处理U统计量和样本均值提供理论基础。

提出的方法

• 将非重叠块自抽样方法应用于具有绝对平稳性（β-混合）依赖结构的平稳过程。
• 采用非重叠块的重抽样方法以保持弱依赖结构。
• 分析在β-混合条件下自抽样分布估计量的渐近行为。
• 建立样本均值和U统计量的自抽样分布估计量的强一致性。
• 运用弱收敛和经验过程理论的工具，证明在弱依赖条件下的强一致性。
• 考虑基尼均差和卡方检验统计量等具体U统计量实例作为函数泛函的示例。

实验结果

研究问题

• RQ1 非重叠块自抽样能否在绝对平稳过程中一致地应用于样本均值？
• RQ2 在绝对平稳性条件下，U统计量的自抽样分布估计量是否仍保持强一致性？
• RQ3 对于具有弱依赖性的混沌动力系统中的非线性泛函，能否可靠地使用自抽样方法？
• RQ4 在强混合过程之外，何种条件可确保U统计量自抽样推断的有效性？
• RQ5 非重叠块自抽样在估计如基尼均差等统计量的抽样分布方面表现如何？

主要发现

• 在绝对平稳性（β-混合）条件下，非重叠块自抽样分布估计量对样本均值具有强一致性。
• 在相同的依赖结构下，自抽样方法对U统计量（包括基尼均差和卡方检验统计量）也具有强一致性。
• 该方法将自抽样有效性扩展至弱依赖过程中非线性统计量的应用，即使强混合条件不成立。
• 理论结果支持在弱依赖的混沌动力系统中使用自抽样进行推断。
• 强一致性在参数空间上一致成立，确保了在实际应用中的稳健性。
• 研究结果为在弱依赖时间序列（如确定性混沌系统生成的数据）中使用非重叠块自抽样方法提供了理论依据。