[论文解读] Bootstrapping Empirical Processes of Cluster Functionals with Application to Extremograms

Holger Drees|arXiv (Cornell University)|Nov 2, 2015

Financial Risk and Volatility Modeling参考文献 11被引用 11

一句话总结

本文提出了一种乘子块自展法，用于依赖的极值时间序列中聚类泛函的经验过程，实现了对极值图的可靠推断。在与Drees和Rootzén（2010）相似的条件下，自展法弱收敛至相同的极限分布，从而可构建出具有改进有限样本性能的极值图参数可靠置信区域。

ABSTRACT

In the extreme value analysis of time series, not only the tail behavior is of interest, but also the serial dependence plays a crucial role. Drees and Rootzén (2010) established limit theorems for a general class of empirical processes of so-called cluster functionals which can be used to analyse various aspects of the extreme value behavior of mixing time series. However, usually the limit distribution is too complex to enable a direct construction of confidence regions. Therefore, we suggest a multiplier block bootstrap analog to the empirical processes of cluster functionals. It is shown that under virtually the same conditions as used by Drees and Rootzén (2010), conditionally on the data, the bootstrap processes converge to the same limit distribution. These general results are applied to construct confidence regions for the empirical extremogram introduced by Davis and Mikosch (2009). In a simulation study, the confidence intervals constructed by our multiplier block bootstrap approach compare favorably to the stationary bootstrap proposed by Davis et al.\ (2012).

研究动机与目标

• 为解决当经验过程的渐近分布过于复杂而无法直接进行推断时，构建极值图置信区域的挑战。
• 通过开发一种保持聚类泛函经验过程弱收敛性质的自展法，将Drees和Rootzén（2010）的理论框架加以拓展。
• 为具有极值序列依赖的时间序列中的极值图，提供一种实际且计算可行的现有自展方法的替代方案。
• 与平稳自展法相比，改进极值图参数置信区间的有限样本性能。

提出的方法

• 为聚类泛函的经验过程提出乘子块自展法，其中自展权重为与数据独立的i.i.d.随机变量。
• 在给定数据的条件下，自展过程定义为 $ Z_n^*(f) = \frac{1}{\sqrt{n v_n}} \sum_{j=1}^{m_n} \xi_j (f(Y_{n,j}) - \mathbb{E}[f(Y_{n,j})]) $，其中 $ \xi_j $ 为i.i.d.标准正态或Rademacher变量。
• 在条件 (B1)、(B2)、(C1)–(C3)、(D1)–(D4) 及 (D6) 或 (D6’) 下，建立自展过程弱收敛至与原始经验过程相同的高斯极限分布。
• 将自展法应用于经验极值图，即序列极值依赖的非参数估计器，使用一组针对二元极值依赖特性的聚类泛函族。
• 利用 bracketing entropy 和 metric entropy 条件 (D4)–(D6) 控制函数指标集 $ \mathcal{F} $ 的复杂性，确保渐近紧致性和等连续性。
• 证明在与 Drees 和 Rootzén（2010）原始弱收敛结果相同的条件下，自展法在渐近意义上是有效的，从而确保理论可靠性。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否为聚类泛函的经验过程构造一种乘子块自展法，使其在最小假设下条件弱收敛至与原始过程相同的极限分布？
• RQ2 所提出的自展方法是否能为具有极值聚类的时间序列中的极值图提供有效的置信区域？
• RQ3 在有限样本中，所提出的自展方法与平稳自展法相比，在极值图估计中的性能如何？
• RQ4 自展过程在何种条件下能保持聚类泛函经验过程的渐近分布特性？
• RQ5 自展法是否可在不需对极值依赖结构进行参数建模的情况下应用于极值图？

主要发现

• 在条件 (B1)、(B2)、(C1)–(C3)、(D1)–(D4) 及 (D6) 或 (D6’) 下，聚类泛函经验过程的乘子块自展法在给定数据条件下弱收敛至与原始过程相同的高斯极限分布。
• 该自展方法在构造经验极值图置信区域方面具有渐近有效性，为参数推断提供了一种非参数替代方案。
• 在模拟研究中，所提出的自展法生成的极值图置信区间比平稳自展法更精确，且具有更好的覆盖性能。
• 该方法仅需标准的正则变异性与混合条件，使其广泛适用于具有极值聚类的时间序列。
• 熵界条件（如 (D4)–(D6)）确保函数指标集的复杂性不会破坏弱收敛性。
• 包络函数 $ F(x) = \sup_{f \in \mathcal{F}} |f(x)| $ 对所有 $ x \in E_\cup $ 有限，确保了自展法的统一可积性与稳定性。