[论文解读] Bootstrapping Non-commutative Gauge Theories from L$_\infty$ algebras

Ralph Blumenhagen, Ilka Brunner+2 more|arXiv (Cornell University)|Mar 2, 2018

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 27被引用 9

一句话总结

本文提出，通过底层的 L∞ 代数，可以系统地构建非交换参数非恒定的非交换规范场论，该代数同时控制对称性和动力学。通过将该框架应用于弦理论设置（如 WZW 模型中的 D-brane 和可积形变），作者展示了在非交换参数的二阶以内，对非交换 Chern-Simons 和 Yang-Mills 理论实现代数自举，包括导数项和曲率修正，并表明在非结合情形下与 A∞ 代数结构一致。

ABSTRACT

Non-commutative gauge theories with a non-constant NC-parameter are investigated. As a novel approach, we propose that such theories should admit an underlying L$_\infty$ algebra, that governs not only the action of the symmetries but also the dynamics of the theory. Our approach is well motivated from string theory. We recall that such field theories arise in the context of branes in WZW models and briefly comment on its appearance for integrable deformations of AdS$_5$ sigma models. For the SU(2) WZW model, we show that the earlier proposed matrix valued gauge theory on the fuzzy 2-sphere can be bootstrapped via an L$_\infty$ algebra. We then apply this approach to the construction of non-commutative Chern-Simons and Yang-Mills theories on flat and curved backgrounds with non-constant NC-structure. More concretely, up to the second order, we demonstrate how derivative and curvature corrections to the equations of motion can be bootstrapped in an algebraic way from the L$_\infty$ algebra. The appearance of a non-trivial A$_\infty$ algebra is discussed, as well.

研究动机与目标

• 为基于弦理论的、非恒定非交换参数的非交换规范场论，提供一个物理上合理的系统化构造原则。
• 表明此类理论可从编码了规范对称性和动力学的底层 L∞ 代数中推导得出。
• 通过在非交换参数的二阶内引入 A∞ 代数结构，将该框架扩展至非结合星积情形。
• 通过显式计算高阶乘积并满足 A∞ 关系，证明自举过程的一致性，直至 O(Θ²) 阶。

提出的方法

• 作者采用 L∞ 代数框架，其中规范对称性和运动方程通过满足广义雅可比恒等式的高阶乘积编码。
• 他们将该框架应用于 SU(2) WZW 模型，表明在模糊 2-球面上的矩阵值规范场论源于一个 L∞ 代数。
• 通过 L∞ 结构中的代数关系，系统地生成了运动方程在 O(Θ²) 阶内的导数项和曲率修正。
• 在非结合情形下，引入一个非平凡的四重乘积 m₄，其与结构常数 Πijk 成正比，其形式由与 A∞ 关系的一致性所固定。
• 通过验证所有 A₄ 和 A₅ 关系在 O(Θ²) 阶内成立，且更高阶关系因截断而自动满足，从而验证了该构造。
• 二重乘积 m₂(f,g) 被识别为 Kontsevich 星积，确保从一开始就包含了量子修正。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否使用统一的代数框架，一致地构造非恒定 Θ 的非交换规范场论？
• RQ2 底层的 L∞ 代数是否自然地编码了此类理论中的规范对称性和动力学？
• RQ3 在非恒定 Θ 的非交换规范场论中，导数项和曲率修正如何通过代数方式产生？
• RQ4 A∞ 代数在非结合的非交换规范场论中起什么作用？高阶乘积受到何种约束？
• RQ5 自举过程能否在 O(Θ²) 之外扩展，同时保持代数关系的一致性？

主要发现

• L∞ 代数框架成功地在非交换 Chern-Simons 和 Yang-Mills 理论中，生成了 O(Θ²) 阶内的导数项和曲率修正。
• 在非结合情形下，必须存在一个与 Πijk 成正比的非零四重乘积 m₄(f,A,B,C)，并已显式构造，且满足所有 A₄ 和 A₅ 关系。
• 在 O(Θ²) 阶，A∞ 代数的一致性得以保持，由于阶数截断，所有更高阶 Aₙ 关系自动满足。
• 二重乘积 m₂(f,g) 被识别为 Kontsevich 星积，其包含量子修正，与经典泊松括号不同。
• 该构造与已知的弦理论实例一致，如 WZW 模型中的 D-brane 和 AdS₅ σ 模型的可积形变。
• 逐步自举过程表明，若低阶关系成立，则各阶的一致性条件自动满足，暗示该方法可扩展至更高阶。