[论文解读] Bootstrapping Non-Invertible Symmetries

Ying‐Hsuan Lin, Shu-Heng Shao|arXiv (Cornell University)|Feb 27, 2023

Algebraic structures and combinatorial models被引用 5

一句话总结

本文将数值模 bootstrap 方法应用于具有有限非可逆对称性的 1+1 维共形场论（CFT），以 Fibonacci、Ising 和 $ς(2)_{2}$ 等融合范畴作为具体例子。通过将 CFT 与 2+1 维 Turaev-Viro TQFT $Η(χ)$ 通过“板状构造”耦合，作者推导出对称性保护与对称性破缺扇区中算符维数的严格、普遍的界限，表明在平凡任意统计子扇区及非平凡任意统计子扇区的并集中存在界限，特定例外情况与模 S 和 T 矩阵的特征向量有关。

ABSTRACT

Using the numerical modular bootstrap, we constrain the space of 1+1d CFTs with a finite non-invertible global symmetry described by a fusion category $\mathcal{C}$. We derive universal and rigorous upper bounds on the lightest $\mathcal{C}$-preserving scalar local operator for fusion categories such as the Ising and Fibonacci categories. These numerical bounds constrain the possible robust gapless phases protected by a non-invertible global symmetry, which commonly arise from microscopic lattice models such as the anyonic chains. We also derive bounds on the lightest $\mathcal{C}$-violating local operator. Our bootstrap equations naturally arise from a "slab construction", where the CFT is coupled to the 2+1d Turaev-Viro TQFT, also known as the Symmetry TFT.

研究动机与目标

• 理解受有限非可逆对称性保护的 1+1 维 CFT 的普遍性质。
• 将模 bootstrap 框架扩展至不构成群的非可逆全局对称性。
• 在对称性保持与对称性破缺扇区中，推导出算符维数的严格、模型无关的界限。
• 阐明基于模 S 和 T 矩阵结构，bootstrap 界限存在或缺失的条件。
• 将量子场论中自然性与稳定性的概念推广至传统群型对称性之外。

提出的方法

• 作者在 1+1 维 CFT 中使用模 bootstrap，通过扭 partition 函数引入与非可逆对称性相关的拓扑线算符。
• 他们采用将 CFT 与 2+1 维 Turaev-Viro TQFT $Η(χ)$ 耦合的“板状构造”，其中 $χ$ 是描述非可逆对称性的融合范畴。
• 强制 partition 函数在 $\mathrm{SL}(2,\mathbb{Z})$ 下的模协变性，从而通过模 S 和 T 矩阵对谱施加约束。
• 通过分析模 S 和 T 矩阵同时具有特征值 1 的特征空间，确定 bootstrap 界限的存在性。
• 对于每个融合范畴（Fibonacci、Ising、$ς(2)_{2}$），作者计算了 Drinfeld 中心理论，并根据是否存在非平凡的非负特征向量（特征值为 1）来识别哪些任意统计子扇区允许或禁止界限。
• 他们区分了对称性保持扇区（$\mathcal{V}_{\mathbf{1}}$）与对称性破缺扇区（$\mathcal{V}_{\mu}$，其中 $\mu \neq \mathbf{1}$），并推导出间隙界限存在的条件。

实验结果

研究问题

• RQ1 在具有非可逆对称性的 1+1 维 CFT 的希尔伯特空间中，模 bootstrap 界限在能隙上存在的条件是什么？
• RQ2 模 S 和 T 矩阵的结构——特别是其同时具有特征值 1 的特征空间——如何影响 bootstrap 界限的存在性？
• RQ3 能否通过耦合至 2+1 维 TQFT 的板状构造系统地推导出非可逆对称性扇区中算符维数的约束？
• RQ4 为何某些任意统计子扇区（例如 Fibonacci 中的 $(W,\bar{W})$，Ising 中的 $(\eta,\bar{\eta})$）允许界限，而其他扇区不允许？其特征向量结构在此中起什么作用？
• RQ5 在不同非可逆融合范畴中，界限存在的普遍模式是什么？它与任意统计子的量子维数和异常性质有何关联？

主要发现

• 对于任意幺正模范畴（UMTC），在平凡任意统计子扇区 $\mathcal{V}_{\mathbf{1}}$ 中，模 bootstrap 界限被保证存在，因为任意非平凡非负特征向量（特征值为 1）的第一个分量不可能为零。
• 在所有非平凡任意统计子扇区的并集 $\bigcup_{\mu \neq \mathbf{1}} \mathcal{V}_{\mu}$ 中也预期存在界限，因为向量 $(1,0,\dots,0)$ 不可能是特征值为 1 的特征向量，除非 S 矩阵是平凡的。
• 对于 Fibonacci 范畴，在 $(W,\bar{W})$ 扇区中存在界限，因为 S 和 T 矩阵同时具有特征值 1 的特征空间由 $(1,0,0,1)$ 张成，该向量在 W 扇区中不为零。
• 对于 Ising 和 $\mathfrak{su}(2)_{2}$ 范畴，预期在 $(\eta,\bar{\eta})$ 或 $({\mathcal{N}},\bar{\mathcal{N}})$ 扇区中存在界限，因为特征值为 1 的特征空间由 $(1,0,0,0,1,0,0,0,1)$ 张成，该向量在这些扇区中具有非零分量。
• 在异常的 $\mathbb{Z}_2$ 情况下（即双子凝聚模型），在扭扇区 $\mathcal{H}_{\eta}$（对应于 $\mathcal{V}_{(\eta,1)} \cup \mathcal{V}_{(1,\bar{\eta})}$）中不存在界限，这是由于存在一个非平凡的特征值为 1 的特征向量。
• 界限的缺失与存在一个非平凡的特征值为 1 的特征向量且其在相关扇区中分量为零有关，这表明可能存在来自对称性拓扑场论实现的障碍。