[论文解读] Bootstrapping Two-phase Sampling

Takumi Saegusa|arXiv (Cornell University)|Jun 21, 2014

Statistical Methods and Inference参考文献 30被引用 3

一句话总结

本文提出了一种针对无放回两阶段分层抽样设计的新型非参数自助法，解决了在半参数模型中渐近方差无闭式解时的方差估计问题。通过结合阶段特异性和层特异性自助权重，该方法建立了逆概率加权经验过程的条件弱收敛性，从而实现了在复杂抽样设计下对加权似然估计量和M/Z-估计量的有效推断。

ABSTRACT

We propose a nonparametric bootstrap procedure for two-phase stratified sampling without replacement. In this design, a weighted likelihood estimator is known to have smaller asymptotic variance than under the convenient assumption of independence often made in practice. Variance estimation, however, has not been well studied for semiparametric models where variance may not have a closed form. Motivated by semiparametric inference, we establish conditional weak convergence of bootstrap inverse probability weighted empirical processes with several variants of calibration. Two main obstacles to applying existing bootstrap empirical process theory are the dependent and biased sample due to sampling design, and the complex limiting processes of the linear combinations of Brownian bridge processes. To address these issues, the proposed bootstrap weights take the form of the product of two weights corresponding to randomness from each phase and stratum. We apply our bootstrap to weighted likelihood estimation and establish two Z-theorems for a general semiparametric model where a nuisance parameter can be estimated either at a regular or a non-regular rate. We show different bootstrap calibration methods proposed in the survey sampling literature yield different bootstrap asymptotic distributions.

研究动机与目标

• 解决在无放回两阶段分层抽样中加权似然估计量缺乏可靠方差估计方法的问题。
• 克服由依赖性、有偏样本以及涉及布朗桥过程线性组合的复杂极限分布带来的挑战。
• 将自助经验过程理论扩展至具有非独立同分布观测和非交换自助权重的抽样设计。
• 为一般半参数模型（包括M-和Z-估计量）提供理论基础坚实的自助程序。
• 证明不同调查抽样中的校准方法会导致不同的自助渐近分布，从而增强方法的灵活性。

提出的方法

• 提出一种自助权重结构，即阶段I的i.i.d.权重与阶段II的分层抽样权重的乘积，以捕捉两个抽样阶段及各层的随机性。
• 将自助IPW经验过程分解为阶段I和阶段II两部分，以处理依赖性和非交换性问题。
• 通过证明在给定阶段I权重下阶段II过程的弱收敛性，建立自助IPW经验过程的条件弱收敛性。
• 利用乘子不等式和对称化技术控制经验过程范数，借助经验过程理论中的结果（如van der Vaart和Wellner的引理2.9.1）。
• 应用可交换权重自助框架处理无放回抽样，将[30]和[37]中的工具适配至复杂调查设计。
• 提出一种自下而上的证明策略，按顺序处理阶段I和阶段II的抽样随机性，确保在最小矩条件下的收敛性。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否为无放回两阶段分层抽样设计开发一种自助程序，使其在渐近方差无闭式解时仍能正确估计方差？
• RQ2 如何将自助理论扩展至处理无放回抽样中产生的依赖性、非i.i.d.样本？
• RQ3 调查抽样中不同校准方法在塑造自助估计量渐近分布方面起什么作用？
• RQ4 所提出的自助方法是否能在复杂抽样设计下对一般半参数模型（包括M-和Z-估计量）实现有效推断？
• RQ5 尽管自助权重非交换且极限过程复杂，能否建立自助IPW经验过程的条件弱收敛性？

主要发现

• 所提出的自助程序在无放回两阶段分层抽样下成功建立了逆概率加权经验过程的条件弱收敛性。
• 作为阶段I与阶段II层特异性权重乘积构造的自助权重，捕捉了双重随机来源，实现了正确的方差估计。
• 调查抽样中不同的校准方法导致自助估计量具有不同的渐近分布，表明方法对校准选择具有敏感性。
• 该方法适用于一般半参数模型，包括收敛率为正则或非正则的估计量，其适用范围超越了加权似然估计。
• 理论结果表明，自助估计量达到了正确的渐近分布，避免了在无放回抽样下标准非参数自助法中常见的方差高估问题。
• 所采用的分解与顺序收敛相结合的证明策略，克服了非i.i.d.数据与非交换权重的主要障碍，在最小正则性条件下验证了方法的有效性。