[论文解读] Border bases and order ideals: a polyhedral characterization

Gábor Braun, Sebastian Pokutta|arXiv (Cornell University)|Dec 8, 2009

Commutative Algebra and Its Applications参考文献 32被引用 8

一句话总结

本文提供了对零维多项式理想支持的边界基的所有序理想（order ideals）的多面体表征，表明这些序理想恰好对应于序理想多面体的整数点。本文提出一种算法，通过在该多面体上进行线性优化，计算任意序理想下的边界基，证明了底层变量选择问题为 NP-难问题，且任何全线性描述凸包均需超多项式数量的约束条件。

ABSTRACT

Border bases arise as a canonical generalization of Gröbner bases. We provide a polyhedral characterization of all order ideals (and hence border bases) that are supported by a zero-dimensional ideal: order ideals that support a border basis correspond one-to-one to integral points of the order ideal polytope. In particular, we establish a crucial connection between the ideal and its combinatorial structure. Based on this characterization we adapt the classical border basis algorithm to allow for computing border bases for arbitrary order ideals, which are independent of term orderings. We also show that finding a maximum weight order ideal that supports a border basis is NP-hard, and that the convex hull of admissible order ideals has no polynomial polyhedral description.

研究动机与目标

• 为支持零维理想边界基的所有序理想提供完整的组合与几何表征。
• 建立可接受序理想与序理想多面体整数点之间的一一对应关系。
• 开发一种独立于项序的算法，用于计算任意序理想下的边界基。
• 分析选择最优序理想的计算复杂度，证明其为 NP-难问题，且全线性描述需超多项式数量的不等式。
• 通过小规模系统的计算实验，证明该方法的实际可行性。

提出的方法

• 本文将序理想多面体定义为给定大小的零维理想的所有序理想的特征向量的凸包。
• 证明一个序理想支持边界基，当且仅当它对应于该多面体中的一个整数点。
• 将最优序理想的选取问题形式化为在序理想多面体上进行线性规划，以最大化用户定义的单项式权重向量。
• 该算法将 Kehrein 和 Kreuzer 的边界基算法适配为可处理通过优化获得的任意序理想，保持与标准算法相同的计算复杂度，仅增加少量开销。
• 利用理想的 L-稳定化张量空间，推导出度兼容序理想的线性约束，从而实现将多面体高效编码为标准线性规划格式。
• 计算验证使用 CPLEX 和 SCIP 求解优化与枚举任务，证实即使在中等复杂度系统下，优化时间也保持在亚秒级。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于给定的零维理想，哪些序理想支持边界基？如何对其进行完整表征？
• RQ2 所有此类可接受序理想是否可用多面体结构描述？若是，其几何与组合性质为何？
• RQ3 能否开发一种算法，为任意给定序理想计算边界基，且不依赖于项序？
• RQ4 选择最优序理想（如为数值稳定性或稀疏性）的计算复杂度如何？
• RQ5 能否构造出所有可接受序理想凸包的紧凑线性描述，还是必须使用超多项式数量的不等式？

主要发现

• 所有支持零维理想边界基的序理想，恰好对应于序理想多面体的整数点。
• 寻找最优序理想的变量选择问题为 NP-难问题，表明此类序理想的选取具有固有的计算难度。
• 任何对所有可接受序理想凸包的全线性描述，均需超多项式数量的不等式，排除了紧凑形式的可能。
• 所提出的算法在任意序理想下计算边界基，其资源消耗与标准算法相当，仅增加少量开销，得益于对多面体的高效优化。
• 计算实验表明，对所有测试实例，对序理想多面体的优化耗时均小于一秒，即使使用复杂权重向量亦然。
• 对于小到中等规模实例，所有可接受的度兼容序理想的枚举是可行的，最多在 55 秒内计数出 108,900 个此类序理想。