[论文解读] Border Collision Bifurcations in n-Dimensional Piecewise Linear Discontinuous Maps

Partha Sharathi Dutta, Bitihotra Routroy+2 more|ArXiv.org|Jan 16, 2006

Chaos control and synchronization参考文献 15被引用 6

一句话总结

本文通过将Feigin的方法扩展至不连续系统，提出了一套通用框架，用于分析n维分段线性不连续映射中的边界碰撞分岔。该框架基于含两个参数的分段线性规范型，推导出周期-1和周期-2不动点存在的显式条件，并通过一个2D映射实例验证，结果表明在特定参数范围内存在稳定的周期-2轨道。

ABSTRACT

In this paper we report some important results that help in analizing the border collision bifurcations that occur in n-dimensional discontinuous maps. For this purpose, we use the piecewise linear approximation in the neighborhood of the plane of discontinuity. Earlier, Feigin had made a similar analysis for general n-dimensional piecewise smooth continuous maps. Proceeding along similar lines, we obtain the general conditions of existence of period-1 and period-2 fixed points before and after a border collision bifurcation. The application of the method is then illustrated using a specific example of a two-dimensional discontinuous map.

研究动机与目标

• 开发n维不连续映射的全面分岔理论，此类映射在电子电路和控制系统中普遍存在。
• 解决不连续映射缺乏系统性分析工具的问题，尤其与连续分段光滑映射已建立的理论相比。
• 将Feigin针对连续映射的方法扩展至不连续系统，使边界碰撞分岔能够用于研究突变的动力学转变。
• 推导n维不连续映射中周期-1和周期-2不动点存在的普遍条件。
• 通过一个具体的二维不连续映射及数值模拟，验证理论框架的有效性。

提出的方法

• 为由超平面分隔的两个区域构成的不连续映射构建一个分段线性规范型，其中矩阵A₁和A₂仅在第一列不同。
• 引入两个参数μ₁和μ₂以建模可变的不连续长度，且使用同一向量C来表示参数对两侧的影响。
• 通过求解X* = A₁X* + Cμ₁（当x₁* < 0时）和X* = A₂X* + Cμ₂（当x₁* > 0时），推导出周期-1不动点的存在条件，得到以迹τ和行列式δ表示的线性系统。
• 通过求解耦合系统X** = A₁X* + Cμ₁（其中x₁* < 0）和X* = A₂X** + Cμ₂（其中x₁** > 0），推导出周期-2轨道的条件，表达为τ_L、τ_R、δ_L、δ_R的函数。
• 利用A₁A₂的特征值评估周期-2轨道的稳定性，当特征值为模小于1的复数时，确认其稳定性。
• 通过数值分岔图验证结果，显示在以μ₁为分岔参数的2D映射中，理论预测与模拟动力学一致。

实验结果

研究问题

• RQ1 n维不连续分段线性映射中周期-1不动点存在的普遍条件是什么？
• RQ2 在何种参数条件下，此类系统中会出现周期-2轨道，特别是当一个点位于不连续面的一侧、另一个点位于另一侧时？
• RQ3 子映射的迹和行列式如何影响不连续系统中周期轨道的存在性与稳定性？
• RQ4 该理论框架能否预测二维不连续映射中的分岔边界与稳定性转变？其结果与模拟结果相比如何？
• RQ5 参数μ₁和μ₂在决定周期轨道存在范围中起什么作用，特别是在不连续长度变化时？

主要发现

• 当μ₁ < 0且μ₂ < 0时，周期-1不动点存在，分别位于左侧和右侧区域，该结论由表1和仿真结果证实。
• 在2D实例中，当τ_L = 0.7，δ_L = 0.3，τ_R = 0.2，δ_R = 0.3，且μ₂ = -0.025时，周期-2轨道存在于μ₁ = 0.01346至μ₁ = 0.1625之间。
• 周期-2轨道是稳定的，因为A₁A₂的特征值为λ₁ = -0.23 + 0.19i和λ₂ = -0.23 - 0.19i，其模小于1。
• 周期-2轨道的存在性取决于不等式τ_L τ_R > (1 + δ_L)(1 + δ_R)或τ_L τ_R < (1 + δ_L)(1 + δ_R)，这在参数空间中定义了不同区域。
• 图10中的分岔图证实，当μ₁ < 0时周期-1轨道存在，当μ₁ > 0.01346时周期-2轨道出现，与理论预测一致。
• 周期-2存在条件可表示为：当τ_L τ_R > (1+δ_L)(1+δ_R)时，μ₂/μ₁ ∈ (−τ_R/(1+δ_R), −(1+δ_L)/τ_L)；否则为相反区间。