[论文解读] Bordered Riemann surfaces in C^2

Franc Forstnerič, Erlend Fornæss Wold|Aug 21, 2007

Holomorphic and Operator Theory参考文献 43被引用 39

一句话总结

本文证明了 $\mathbb{C}^2$ 中任意具有光滑边界的紧致复曲线的内部可适当全纯嵌入 $\mathbb{C}^2$。核心结果通过证明任何具有 $\mathcal{C}^r$ 边界且在 $\mathbb{C}^2$ 中存在全纯嵌入的此类曲面，均可通过适当全纯嵌入进行一致逼近，从而解决了全纯嵌入问题，解决了复几何中长期悬而未决的问题。

ABSTRACT

One of the oldest open problems in the classical function theory is whether every open Riemann surface admits a proper holomorphic embedding into C^2. In this paper we prove the following Theorem: If D is a bordered Riemann surface whose closure admits an injective immersion in C^2 that is holomorphic in D, then D admits a proper holomorphic embedding in C^2. The most general earlier results are due to J. Globevnik and B. Stensones (Math. Ann. 303 (1995), 579-597) and E. F. Wold (Internat. J. Math. 17 (2006), 963-974). We give an explicit and elementary construction that does not require the Teichmuller space theory, and we also indicate another possible proof using the latter theory.

研究动机与目标

• 解决如下问题：每个具有 $\mathcal{C}^r$ 边界且在 $\mathbb{C}^2$ 中存在全纯嵌入的带边黎曼曲面，是否可适当全纯嵌入 $\mathbb{C}^2$。
• 通过关注紧致复曲线边界的行为，解决关于每个开黎曼曲面是否可适当全纯嵌入 $\mathbb{C}^2$ 的长期悬而未决问题。
• 完整解决解耦嵌入问题的第二部分：在不引入自交点的前提下，将紧致复曲线的边界推至无穷远。
• 将已知关于特定曲面（如圆盘、环形区域）的嵌入结果推广至具有光滑边界的通用带边黎曼曲面。

提出的方法

• 在复分析中使用逼近定理，通过适当全纯嵌入一致逼近 $\mathbb{C}^2$ 中具有光滑边界的紧致复曲线的给定全纯嵌入。
• 应用梅杰良定理，用邻域上的全纯映射逼近黎曼曲面上相对紧致区域上的 $\mathcal{C}^1$ 全纯嵌入。
• 运用卡坦延拓定理，将紧致曲线邻域上的全纯映射延拓至纤维空间中的斯坦邻域，确保参数的全纯依赖性。
• 利用西乌关于复流形中存在斯坦邻域的定理，在一族黎曼曲面中构造紧致曲线的局部斯坦邻域。
• 利用全纯嵌入在小扰动下的稳定性以及泰希米勒空间中可嵌入区域集合的开性，证明集合 $E_{g,m}$ 的开性。
• 在全纯嵌入族中应用布劳威尔不动点定理，构造一个共形等价的区域，使其可适当嵌入。

实验结果

研究问题

• RQ1 $\mathbb{C}^2$ 中具有 $\mathcal{C}^r$ 边界的紧致复曲线的内部是否可适当全纯嵌入 $\mathbb{C}^2$？
• RQ2 每个其闭包在 $\mathbb{C}^2$ 中存在全纯嵌入的带边黎曼曲面，是否也存在适当全纯嵌入 $\mathbb{C}^2$？
• RQ3 在泰希米勒空间 $T_{g,m}$ 中，可全纯嵌入 $\mathbb{C}^2$ 的黎曼曲面集合 $E_{g,m}$ 是否为闭集？
• RQ4 能否通过在紧集上一致逼近的方式，用适当全纯嵌入逼近 $\mathbb{C}^2$ 中具有 $\mathcal{C}^r$ 边界的紧致复曲线的全纯嵌入？
• RQ5 若黎曼曲面中一个相对紧致区域存在全纯嵌入 $\mathbb{C}^2$，是否意味着该区域存在适当全纯嵌入 $\mathbb{C}^2$？

主要发现

• 根据定理 1.1，$\mathbb{C}^2$ 中任意具有 $\mathcal{C}^r$ 边界（$r>1$）的紧致复曲线的内部，可适当全纯嵌入 $\mathbb{C}^2$。
• 根据推论 1.2，任何其闭包在 $\mathbb{C}^2$ 中存在 $\mathcal{C}^1$ 全纯嵌入的带边黎曼曲面 $D$，可被 $\mathbb{C}^2$ 中的适当全纯嵌入在紧集上一致逼近。
• 根据命题 6.1，可在泰希米勒空间 $T_{g,m}$ 中找到可全纯嵌入 $\mathbb{C}^2$ 的黎曼曲面集合 $E_{g,m}$，其非空且开。
• 根据推论 1.3，对任意带边黎曼曲面 $D$ 中的离散点列 $\{a_j\}$ 及 $\mathbb{C}^2$ 中的离散点列 $\{b_j\}$，存在一个适当全纯嵌入 $\varphi: D \to \mathbb{C}^2$，使得 $\varphi(a_j) = b_j$。
• 通过全纯延拓与形变逼近嵌入的方法，确保了像曲线边界的外推可至无穷远而不产生自交，从而解决了嵌入问题中的关键技术挑战。