[论文解读] Borel* Sets in the Generalised Baire Space

Tapani Hyttinen, Vadim Kulikov|arXiv (Cornell University)|Sep 18, 2012

Advanced Topology and Set Theory参考文献 4被引用 3

一句话总结

本文研究广义布雷空间 $\kappa^\kappa$ 中的复杂度类 Borel*($\kappa$)，确立其与其它描述集合论类如 $\Sigma^1_1(\kappa)$、$\Delta^1_1(\kappa)$ 和 $\operatorname{Borel}(\kappa)$ 的关系。通过使用 $\kappa^+$ 长度的 $<\kappa$-支撑力迫，包括科恩力迫和针对 $M_{\kappa^+\kappa}$ 的基于逻辑的力迫，证明了 $\operatorname{Borel}^*(\kappa) \subsetneq \Sigma^1_1(\kappa)$ 的一致性，展示了在通用扩张中 $\operatorname{ISO}(\operatorname{DLO}, \kappa)$ 不属于 $\operatorname{Borel}^*(\kappa)$。

ABSTRACT

We start by giving a survey to the theory of Borel*(κ) sets in the generalized Baire space Baire(κ) = κ^κ. In particular we look at the relation of this complexity class to other complexity classes which we denote by Borel(κ), Δ^1_1(κ) and Σ^1_1(κ) and the connections between Borel*(κ)-sets and the infinitely deep language M_{κ^+κ}. In the end of the paper we prove the consistency of Borel*(κ) e Σ^1_1(κ).

研究动机与目标

• 将描述集合论从经典布雷空间扩展到不可数 $\kappa$ 的广义布雷空间 $\kappa^\kappa$，其中 $\kappa^{<\kappa} = \kappa$。
• 分析通过语义博弈定义的复杂度类 $\operatorname{Borel}^*(\kappa)$，其与逻辑 $M_{\kappa^+\kappa}$ 相关，并与 $\operatorname{Borel}(\kappa)$、$\Delta^1_1(\kappa)$ 和 $\Sigma^1_1(\kappa)$ 进行比较。
• 研究一阶理论 $T$ 在不可数情境下的同构关系 $\operatorname{ISO}(T, \kappa)$ 的描述复杂度。
• 通过力迫方法建立 $\operatorname{Borel}^*(\kappa) \subsetneq \Sigma^1_1(\kappa)$ 的一致性，解决 [FHK11] 中的一个开放问题。

提出的方法

• 构建一个 $\kappa^+$ 长度的 $<\kappa$-支撑力迫迭代 $\mathbb{P}_{\kappa^+}$，交替使用科恩力迫 $\mathbb{C}$ 和针对 $M_{\kappa^+\kappa}$-可定义集合的力迫 $\mathbb{R}(\dot{t}, \dot{h})$。
• 通过语义博弈 $B^*((x,y),(t,h))$ 定义 $\operatorname{Borel}^*(\kappa)$ 集合，其中玩家 II 拥有获胜策略当且仅当 $(x,y) \in B(t,h)$，推广了布雷克威尔对 Borel 集的博弈表征。
• 利用迭代的 $\kappa^+$-c.c. 和 $<\kappa$-闭性，保持策略不变，并防止在通用扩张中引入新的获胜策略。
• 证明在通用扩张 $V[G]$ 中，同构关系 $\operatorname{ISO}(\operatorname{DLO}, \kappa)$ 不属于 $\operatorname{Borel}^*(\kappa)$，通过显示没有任何 $\operatorname{Borel}^*$-编码能正确捕捉它。
• 在通用模型中建立 $\Delta^1_1(\kappa) \subsetneq \operatorname{Borel}^*(\kappa)$，通过证明 $\Delta^1_1(\kappa)$ 集具有贝尔性质，从而表明它们并非全部可 $\operatorname{Borel}^*$-定义。
• 应用力迫迭代表明 $\operatorname{ISO}(\operatorname{DLO}, \kappa)$ 是 $\Sigma^1_1(\kappa)$ 但不属于 $\operatorname{Borel}^*(\kappa)$，从而证明严格包含关系。

实验结果

研究问题

• RQ1 在广义布雷空间 $\kappa^\kappa$ 中，$\operatorname{Borel}^*(\kappa)$ 是否严格小于 $\Sigma^1_1(\kappa)$？
• RQ2 在通用扩张中，同构关系 $\operatorname{ISO}(\operatorname{DLO}, \kappa)$ 是否能被 $\operatorname{Borel}^*(\kappa)$-编码正确捕捉？
• RQ3 在广义设定下，$\operatorname{Borel}^*(\kappa)$、$\Delta^1_1(\kappa)$ 和 $\Sigma^1_1(\kappa)$ 之间的关系是什么？
• RQ4 通过 $B^*$-博弈的博弈论表征是否在力迫扩张下保持稳健？
• RQ5 力迫能否用于在不可数情境下分离 $\operatorname{Borel}^*(\kappa)$ 与 $\Sigma^1_1(\kappa)$？

主要发现

• 本文通过 $\kappa^+$ 长度的 $<\kappa$-支撑力迫迭代（包括科恩力迫和针对 $M_{\kappa^+\kappa}$-可定义集合的力迫）证明了 $\operatorname{Borel}^*(\kappa) \subsetneq \Sigma^1_1(\kappa)$ 的一致性。
• 在通过此迭代获得的通用扩张 $V[G]$ 中，同构关系 $\operatorname{ISO}(\operatorname{DLO}, \kappa)$ 不属于 $\operatorname{Borel}^*(\kappa)$，因为没有任何 $\operatorname{Borel}^*$-编码能正确表示它。
• 该模型满足 $\Delta^1_1(\kappa) \subsetneq \operatorname{Borel}^*(\kappa)$，因为 $\Delta^1_1(\kappa)$ 集在扩张中具有贝尔性质，这表明它们并非全部可 $\operatorname{Borel}^*$-定义。
• 力迫迭代保持了 $\kappa^+$-c.c. 和 $<\kappa$-闭性，确保不会引入新的 $B^*$-博弈获胜策略，这对论证至关重要。
• 结果确认了在通用模型中 $\operatorname{ISO}(\operatorname{DLO}, \kappa)$ 是 $\Sigma^1_1(\kappa)$ 但不属于 $\operatorname{Borel}^*(\kappa)$，从而确立了严格层次结构。
• 该构造通过证明 $\Delta^1_1(\kappa) \subsetneq \operatorname{Borel}^*(\kappa) \subsetneq \Sigma^1_1(\kappa)$ 的一致性，回答了 [FHK11] 中的一个开放问题，适用于满足 $\kappa^{<\kappa} = \kappa$ 的不可数 $\kappa$。