[论文解读] Borel version of the Local Lemma

Endre Csóka, Łukasz Grabowski+3 more|arXiv (Cornell University)|May 16, 2016

Advanced Topology and Set Theory被引用 7

一句话总结

本文建立了洛瓦兹局部引理的博雷尔版本，证明在依赖图具有统一亚指数增长且失败概率有界的条件下，存在一个博雷尔可测的满足赋值。作者提出了一种并行化的莫泽-塔罗斯算法，通过在相距较远的子句之间共享随机性，实现了在具有博雷尔结构的组合设定（如具有可测约束的欧几里得着色）中有效构造博雷尔解。

ABSTRACT

We prove a Borel version of the local lemma, i.e. we show that, under suitable assumptions, if the set of variables in the local lemma has a structure of a Borel space, then there exists a satisfying assignment which is a Borel function. The main tool which we develop for the proof, which is of independent interest, is a parallel version of the Moser-Tardos algorithm which uses the same random bits to resample clauses that are far enough in the dependency graph.

研究动机与目标

• 将洛瓦兹局部引理推广至博雷尔可测设定，使解能够尊重无限组合问题中的可测结构。
• 解决在不可数空间（如欧几里得空间着色）中构造可测解的挑战。
• 建立一个框架，确保满足赋值不仅在组合意义上存在，而且在适当的拓扑和增长条件下作为博雷尔函数存在。
• 通过一种并行化莫泽-塔罗斯变体，提供一种保持博雷尔可测性和跨远距离子句共享随机性的构造性算法方法。
• 确立经典局部引理的存在性结果可提升至可测设定的条件，特别是在几何与拓扑组合学中。

提出的方法

• 在变量空间上引入博雷尔图结构，确保依赖关系和局部规则函数是博雷尔可测的。
• 定义一种并行化莫泽-塔罗斯算法，对依赖图中相距足够远的子句重用相同的随机位。
• 利用树的景观分析来建模重采样过程的演化，并界定向长执行路径的概率。
• 通过在博雷尔顶点集序列上的超限贪心算法构造博雷尔独立函数，确保最大独立集是博雷尔可测的。
• 通过利用 Rel(G) 图的亚指数增长，证明在博雷尔设定下算法在有限期望时间内终止。
• 通过证明最终赋值函数关于博雷尔 σ-代数是可测的，证明所得的满足赋值是一个博雷尔函数。

实验结果

研究问题

• RQ1 当底层变量空间为标准博雷尔空间时，洛瓦兹局部引理能否被强化以保证存在博雷尔可测的满足赋值？
• RQ2 在依赖图的何种结构条件下（如增长速率），莫泽-塔罗斯算法可被调整以保持博雷尔可测性？
• RQ3 是否可能构造一种并行化重采样算法，使非相邻子句可重用随机性，同时保持终止性和可测性？
• RQ4 经典局部引理的概率存在性结果在多大程度上可被提升至几何组合学中的构造性可测设定？
• RQ5 在 Rel(G) 图中假设统一亚指数增长，对博雷尔解的存在性和构造有何影响？

主要发现

• 建立了局部引理的博雷尔版本：若依赖图 Rel(G) 具有统一亚指数增长，且失败概率满足 p(x) < 1/(eΔ)，则存在一个博雷尔可测的满足赋值。
• 莫泽-塔罗斯算法可被调整为一种并行化、共享随机性的版本，在相同条件下保持博雷尔可测性，并在有限期望时间内终止。
• 通过在博雷尔顶点集序列上的超限贪心算法，实现了博雷尔独立函数的构造，确保最大独立集是博雷尔可测的。
• 关键技术创新在于利用树上的景观理论来建模重采样动力学，并界定向长执行路径的概率。
• 该结果意味着在欧几里得着色问题中（如平移的多着色），着色可被选为博雷尔函数，将推论 1.2 扩展至可测设定。
• 在博雷尔设定下，失败概率的界 p(x) < 1/(eΔ) 是紧确的，与经典局部引理中已知的最佳界一致。