[论文解读] Bose-Einstein Condensation in the Luttinger-Sy Model

O. Lenoble, Valentin A. Zagrebnov|ArXiv.org|Apr 27, 2006

Cold Atom Physics and Bose-Einstein Condensates参考文献 20被引用 9

一句话总结

该论文严格证明了一维Luttinger-Sy模型中玻色-爱instein凝聚（BEC）的存在，该模型为在泊松分布的奇异点杂质随机势场中的完美玻色气体。研究结果表明，凝聚态为I型，局域于一个对数尺度的最大区间内，并显式计算出空间平均的一体化约化密度矩阵，证实了关联函数的指数衰减以及凝聚态区域中非零的长程序（ODLRO）。

ABSTRACT

We present a rigorous study of the Bose-Einstein condensation in the Luttinger-Sy model. We prove the existence of the condensation in this one-dimensional model of the perfect boson gas placed in the Poisson random potential of singular point impurities. To tackle the off-diagonal long-range order we calculate explicitly the corresponding space-averaged one-body reduced density matrix. We show that mathematical mechanism of the Bose-Einstein condensation in this random model is similar to condensation in a one-dimensional nonrandom hierarchical model of scaled intervals. For the Luttinger-Sy model we prove the Kac-Luttinger conjecture, i.e., that this model manifests a type I BEC localized in a single "largest" interval of logarithmic size.

研究动机与目标

• 严格建立在一维Luttinger-Sy模型中，当存在泊松分布的点杂质时，玻色-爱instein凝聚的存在性。
• 分析在随机势场下凝聚态的本质与局域性，特别是其是否在单一量子态中宏观占据（即I型BEC）。
• 显式计算空间平均的一体化约化密度矩阵，并确定其热力学极限。
• 验证Kac-Luttinger关于在随机模型中BEC局域于单一最大区间的猜想。
• 将随机Lutting-Sy模型与非随机的分层模型进行比较，以对广义BEC的可能类型（I、II、III）进行分类。

提出的方法

• 使用一维单粒子薛定谔算符，其随机势场由泊松分布的奇异点杂质生成。
• 通过热力学极限下自平均性质显式计算态密度的积分。
• 定义并分析空间平均的一体化约化密度矩阵，以探测非对角长程序（ODLRO）。
• 应用极值统计方法分析杂质间随机区间的长度，表明最大区间占主导地位。
• 构建一个具有对数尺度区间的非随机分层模型，以模拟随机模型的统计行为。
• 使用Borel-Cantelli引理证明能级间距的几乎必然收敛，从而确保凝聚态不发生分裂。

实验结果

研究问题

• RQ1 在具有泊松随机势的一维Luttinger-Sy模型中，是否存在玻色-爱instein凝聚？
• RQ2 凝聚态是否为I型，即是否在单一量子态中宏观占据，并局域于单一最大区间？
• RQ3 随机势如何影响两点关联函数的衰减以及凝聚态区域中的ODLRO？
• RQ4 不同区间基态之间的能级间距在决定凝聚态局域性方面起什么作用？
• RQ5 Kac-Luttinger关于I型BEC局域于单一最大区间的猜想能否在此随机模型中被严格证明？

主要发现

• 由于态密度的Lifshitz尾行为，Luttinger-Sy模型在随机势场下表现出广义Bose-Einstein凝聚，且临界维度降低至一维。
• 空间平均的一体化约化密度矩阵具有几乎必然的非随机热力学极限，且对所有粒子密度均可显式计算。
• 在凝聚态区域中，ODLRO非零，且等于凝聚态密度，证实了长程序的存在。
• 即使在BEC存在的情况下，两点关联函数仍呈指数衰减，且随机杂质增强了衰减速率。
• Kac-Luttinger猜想被严格证明：BEC为I型，局域于一个对数尺度的最大区间，且在热力学极限下概率为一。
• 两个最大区间基态之间能级间距超过阈值的概率衰减为 $ e^{-\frac{a}{2c^2 k^{1-\nu}} \text{length}^2} $，且当 $ k \to \infty $ 时该概率趋于一，从而确保凝聚态不发生分裂。