[论文解读] Bose Gases at Positive Temperature and Non-Linear Gibbs Measures

Mathieu Lewin, Phan Thành Nam+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 16, 2016

Cold Atom Physics and Bose-Einstein Condensates参考文献 19被引用 5

一句话总结

本文建立了大体系玻色子在正温度下的正则系综吉布斯态与由平均场能量泛函导出的非线性吉布斯测度之间的严格联系。在温度趋于无穷大、相互作用微弱的极限下（T → ∞, λ = 1/T），平衡态收敛到一个经典测度，该测度集中在非线性平均场自由能泛函的极小值点上，从而为玻色-爱因斯坦凝聚提供了半经典的描述。

ABSTRACT

We summarize recent results on positive temperature equilibrium states of large bosonic systems. The emphasis will be on the connection between bosonic grand-canonical thermal states and the (semi-) classical Gibbs measures on one-body quantum states built using the corresponding mean-field energy functionals. An illustrative comparison with the case of "distinguishable" particles (boltzons) is provided.

研究动机与目标

• 将相互作用玻色子在正温度下的量子正则系综吉布斯态与经典非线性吉布斯测度进行严格连接。
• 在大温度、弱耦合区域推导自由能泛函的平均场极限。
• 证明多体量子态收敛到一个支撑在平均场泛函极小值点上的经典测度。
• 将玻色子情形与‘boltzon’（可区分粒子）情形进行对比，突出玻色统计在凝聚中所起的作用。
• 为理解超越基态的玻色-爱因斯坦凝聚提供一个半经典框架。

提出的方法

• 使用带有束缚势和两体相互作用的第二量子化哈密顿量，形式推导正则系综吉布斯态。
• 在 T → ∞, λ = 1/T 的极限下分析自由能泛函，化学势 ν 固定。
• 应用德·芬蒂定理，将极限下的 N 体密度矩阵表示为单体态的混合。
• 利用相对熵的次可加性与非负性，从下界估计多体熵，以单体熵表示。
• 借助量子德·芬蒂型结果，证明平均熵是约化密度矩阵的仿射泛函。
• 通过变分比较与测度集中，建立多体自由能向平均场自由能的收敛。

实验结果

研究问题

• RQ1 在平均场极限与大温度下，大玻色子系统的正温度平衡态如何行为？
• RQ2 多体量子吉布斯态能否在单体态上由经典非线性吉布斯测度近似？
• RQ3 玻色统计在正温度下凝聚的出现中起什么作用？
• RQ4 多体系统的自由能在热力学极限下如何收敛到平均场泛函？
• RQ5 单体态空间上极限测度的结构是什么？

主要发现

• 在极限 T → ∞, λ = 1/T 下，多体吉布斯态 Γ_N,T 收敛到单体密度矩阵空间上的非线性吉布斯测度 μ。
• 极限测度 μ 集中在平均场自由能泛函 F^mf[γ] = E^mf[γ] + T S[γ] 的极小值点上。
• 平均场自由能 F^mf 是每粒子多体自由能的极限，通过熵界与德·芬蒂表示建立收敛性。
• 通过证明自由能的下极限被极限测度上平均场泛函的积分为下界，证明了 N 体态的收敛性。
• 极限测度 μ 唯一且支撑在 F^mf 的极小值点上，意味着对平衡态的精确半经典描述。
• 该方法为正温度下相互作用玻色子的平均场近似提供了严格的数学依据，扩展了对基态分析的适用范围。