[论文解读] Boson-Sampling in the light of sample complexity

Christian Gogolin, Martin Kliesch+2 more|arXiv (Cornell University)|Jun 17, 2013

Quantum Information and Cryptography参考文献 8被引用 41

一句话总结

本文表明，当玻色采样装置中的幺正变换从哈尓测度随机抽取时，任何对称的经典算法都无法在指数级样本数量以下，区分真实玻色采样分布与无碰撞结果上的均匀分布。关键结果是，在对称算法下，这两个分布在操作上不可区分，这意味着在不了解幺正变换的先验知识的情况下，对这类装置进行高效的经典认证可能是不可能的。

ABSTRACT

Boson-Sampling is a classically computationally hard problem that can - in principle - be efficiently solved with quantum linear optical networks. Very recently, a rush of experimental activity has ignited with the aim of developing such devices as feasible instances of quantum simulators. Even approximate Boson-Sampling is believed to be hard with high probability if the unitary describing the optical network is drawn from the Haar measure. In this work we show that in this setup, with probability exponentially close to one in the number of bosons, no symmetric algorithm can distinguish the Boson-Sampling distribution from the uniform one from fewer than exponentially many samples. This means that the two distributions are operationally indistinguishable without detailed a priori knowledge. We carefully discuss the prospects of efficiently using knowledge about the implemented unitary for devising non-symmetric algorithms that could potentially improve upon this. We conclude that due to the very fact that Boson-Sampling is believed to be hard, efficient classical certification of Boson-Sampling devices seems to be out of reach.

研究动机与目标

• 研究区分玻色采样分布与无碰撞结果上均匀分布所需的样本复杂度。
• 评估在现实假设下，对实验性玻色采样装置进行高效经典认证是否可行。
• 探讨关于幺正变换的先验知识在超越对称算法时对可区分性提升的作用。
• 考察具有有界 1-范数误差的不完美、近似玻色采样装置的经典可模拟性。

提出的方法

• 分析区分两个已知概率分布（即玻色采样分布与无碰撞结果上的均匀分布）的样本复杂度。
• 在已知两个分布的完整信息下，利用状态判别设置中的信息理论样本复杂度界限。
• 考虑仅能获取样本、且对输出分布无先验知识的黑箱设置。
• 应用统计假设检验中的界限，表明对称算法需指数级样本数量才能以高置信度区分这两个分布。
• 评估非对称算法的潜力，这些算法利用对哈尓随机幺正变换的知识以提升可区分性。
• 讨论具有有限效率探测器和噪声的不完美线性光学网络的经典可模拟性，表明此类系统可被高效模拟至小的 1-范数误差内。

实验结果

研究问题

• RQ1 当幺正变换为哈尓随机时，对称经典算法能否在多项式样本数量下区分玻色采样分布与无碰撞结果上的均匀分布？
• RQ2 在不了解所实现幺正变换的先验知识下，能否对实验性玻色采样装置进行高效经典认证？
• RQ3 关于幺正变换的先验知识能在多大程度上提升玻色采样分布与均匀分布之间的可区分性？
• RQ4 具有现实噪声和探测器非效率的不完美、近似玻色采样装置，能否在常数 1-范数误差内被高效经典模拟？
• RQ5 样本复杂度在量子采样分布的操作可区分性中起什么作用？

主要发现

• 在玻色子数量上，概率指数趋近于 1 时，任何对称算法都无法在少于指数级样本数量下区分玻色采样分布与无碰撞结果上的均匀分布。
• 即使玻色采样分布与子矩阵的永久值相关，具有复杂结构，但若无详细先验知识，这两个分布仍操作上不可区分。
• 即使完全知晓幺正变换 m、n 和目标分布，多项式样本数量仍不足以认证设备是否从正确分布采样，而非从附近分布采样。
• 具有有限效率探测器的不完美线性光学网络可被经典高效模拟至常数 1-范数误差内，且样本数量为多项式。
• 玻色采样对实验不完美具有鲁棒性，表明对真实设备而言，经典模拟仍保持高效。
• 结果表明，玻色采样设备的经典认证可能不可行，而量子方法可能是验证所必需的。