[论文解读] Bottleneck Partial-Matching Voronoi Diagrams

Matthias Henze, Rafel Jaume|arXiv (Cornell University)|May 5, 2014

Computational Geometry and Mesh Generation参考文献 10被引用 3

一句话总结

本文引入瓶颈部分匹配Voronoi图，以在平移变换下最小化较小点集与较大点集中等大子集之间的字典序瓶颈距离。通过将该问题与两种新型Voronoi型图相关联，作者建立了最优的多项式组合复杂度界限，并提出了高效的构造算法，从而解决最小化问题并支持相关几何匹配问题的求解。

ABSTRACT

Abstract. Given two point sets in the plane, we study the minimiza-tion of the (lexicographic) bottleneck distance between the smaller set and an equally sized subset of the larger set under translations. We re-late this problem to two Voronoi-type diagrams and derive polynomial bounds for their combinatorial complexity that are optimal in the size of the larger set. We devise efficient construction algorithms for these dia-grams which are used to solve the minimization problem and, moreover, can be used to solve other related problems. 1.

研究动机与目标

• 在平移变换下，最小化较小点集与较大点集中等大子集之间的字典序瓶颈距离。
• 将该几何匹配问题与两种新型Voronoi图相关联，并证明其组合复杂度。
• 推导出这些图在较大点集规模下的紧致多项式复杂度界限，且该界限在较大点集规模下为最优。
• 设计高效算法以构造这些图，从而支持瓶颈匹配问题及相关几何优化任务的求解。

提出的方法

• 将瓶颈匹配问题建模为平移下的几何优化问题，重点是最小化匹配中最大距离。
• 引入两种编码平移下瓶颈距离行为的Voronoi型图。
• 证明这些图的组合复杂度为多项式，并且在较大点集规模下达到最优。
• 开发基于分治与扫描线策略的高效算法，实现近似最优时间复杂度的图构造。
• 利用图结构计算使较小点集与较大点集子集之间瓶颈距离最小化的平移变换。
• 利用图的结构特性求解平移下的瓶颈匹配问题及相关几何优化问题。

实验结果

研究问题

• RQ1 捕捉平移下瓶颈部分匹配行为的Voronoi型图的组合复杂度是多少？
• RQ2 能否利用几何图结构高效地最小化较小点集与较大点集子集之间的瓶颈距离？
• RQ3 如何利用这些图的结构特性求解平移下的瓶颈匹配问题？
• RQ4 所提出的图在较大点集规模下是否具有最优的组合复杂度？
• RQ5 哪些算法技术可实现这些图的高效构造，以支持其在几何优化中的实际应用？

主要发现

• 所提出的瓶颈部分匹配Voronoi图在较大点集规模下实现了最优的多项式组合复杂度。
• 这些图可高效构造，从而实现在近似最优时间复杂度下求解平移下的瓶颈匹配问题。
• 通过图的结构特性，字典序瓶颈距离最小化问题得以解决。
• 该框架支持求解主优化任务之外的其他相关几何匹配问题。
• 复杂度的理论界限是紧致的，与较大输入集的最坏情况规模完全匹配。