[论文解读] Bouncing threads for infinitary and circular proofs

David Baelde, Amina Doumane+2 more|arXiv (Cornell University)|May 17, 2020

Logic, programming, and type systems参考文献 6被引用 4

一句话总结

本文提出了一种广义有效性准则，用于处理带不动点的乘法-加法线性逻辑（μMALL∞）中的无穷演绎和循环证明，扩展了先前工作以支持公理和剪切。通过引入“弹跳线程”（即可通过循环路径重新访问公式的线程），确保了 soundness 和剪切消去，证明该准则在一般情况下不可判定，但在特定限制下可判定。

ABSTRACT

We generalize the validity criterion for the infinitary proof system of the multiplicative additive linear logic with fixed points. Our criterion is designed to take into account axioms and cuts. We show that it is sound and enjoys the cut elimination property. We finally study its decidability properties, and prove that it is undecidable in general but becomes decidable under some restrictions.

研究动机与目标

• 将 μMALL∞ 中无穷演绎的有效性准则扩展至处理剪切和公理，此前的准则未涵盖这些内容。
• 通过相同的有效性条件确保线程的生产力，为循环证明中的剪切消去提供计算解释。
• 形式化一种新的“弹跳线程”概念，允许线程通过循环路径重新访问公式，增强表达能力。
• 分析有效性准则的可判定性，表明其在一般情况下不可判定，但在特定约束下可判定。
• 通过将证明有效性与程序的生产力和终止性关联，为 μMALL∞ 建立 Curry-Howard 对应关系。

提出的方法

• 基于‘弹跳线程’提出广义有效性准则，追踪非良基证明树中通过循环路径的公式。
• 定义切片证明系统以处理析取连接词，实现剪切消去和有效性的模块化处理。
• 引入‘持久切片’概念，以在剪切消去步骤中保持线程的一致性。
• 开发基于追踪的剪切消去约化策略，表明约化序列的追踪构成一个有效的截断证明。
• 通过将问题归约为二计数器机的停机问题，证明有效性准则的不可判定性。
• 通过限制线程行为和证明结构，识别出可判定有效性条件的层级。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否将 μMALL∞ 中循环证明的有效性准则扩展以同时处理剪切和公理？
• RQ2 同一有效性条件在确保 soundness 的同时，是否也能保证剪切消去过程中的生产力？
• RQ3 循环预证明的有效性是否可判定？若不可判定，哪些限制可使其可判定？
• RQ4 线程概念能否被泛化，以允许通过循环路径重新访问公式，从而提升证明的组合性？
• RQ5 判定一个循环预证明是否有效的计算复杂度是多少？

主要发现

• 所提出的弹跳线程准则在 μMALL∞ 中是 sound 的，并确保剪切消去，即使在包含剪切和公理的证明中也成立。
• 该准则在一般情况下不可判定，通过归约为二计数器机的停机问题得以证明。
• 有效性问题为 Σ⁰₁ 完全，意味着其是递归可枚举的，但不是 co-r.e.。
• 在某些结构限制下，如线程深度有界或循环重用受限，有效性准则变为可判定。
• 任何剪切消去序列的追踪都是一个有效的截断证明，建立了约化与证明结构之间的联系。
• 该框架支持 Curry-Howard 解释，其中有效的循环证明对应于共归纳类型系统中生产力强且终止的程序。