[论文解读] Bound on Eigenstate Thermalization from Transport

Anatoly Dymarsky|arXiv (Cornell University)|Apr 23, 2018

Theoretical and Computational Physics被引用 12

一句话总结

本文通过将本征态熵化假说（ETH）与输运和热化动力学联系起来，建立了ETH的严格界限。研究证明，ETH矩阵元表现出随机矩阵理论（RMT）行为的能量尺度必须远小于热化时间的倒数，这与传统假设中该尺度等于 Thouless 能量的观点相矛盾。

ABSTRACT

We show that macroscopic thermalization and transport impose constraints on matrix elements entering the Eigenstate Thermalization Hypothesis (ETH) ansatz and require them to be correlated. It is often assumed that the ETH reduces to Random Matrix Theory (RMT) below the Thouless energy scale. We show this conventional picture is not self-consistent. We prove that energy scale at which the RMT behavior emerges has to be parametrically smaller than the inverse timescale of the slowest thermalization mode coupled to the operator of interest. We argue that the timescale marking the onset of the RMT behavior is the same timescale at which hydrodynamic description of transport breaks down.

研究动机与目标

• 解决传统假设中ETH在Thouless能量处简化为RMT与宏观输运和热化所施加的物理约束之间的不一致。
• 确定ETH矩阵元中RMT行为真正出现的能量尺度，该尺度与Thouless能量不同。
• 基于输运动力学，推导可观测量矩阵元偏离热平衡的严格上界。
• 表明输运的水动力学描述在RMT行为开始出现的同一时间尺度上失效，从而将输运与ETH结构联系起来。

提出的方法

• 使用可观测量A的时间平均自相关函数来定义一个带状矩阵δA_T，以捕捉其偏离热平衡的偏差。
• 将δA_T分解为大小为2π/T的较小方阵子矩阵，以利用已知的随机矩阵特征值界限。
• 假设在窄能量窗口内，矩阵元r_ij是统计独立的，当4π/T ≤ ΔE_RMT时该假设成立。
• 通过f²(ω)的积分（即平方形式因子）推导出δA_T最大特征值的上界，得到x²(T) ≤ 72∫₀^{2π/T} f²(ω)dω。
• 将此上界与时间平均可观测量响应相结合，推导出|⟨Ψ|δA_T|Ψ⟩|²的约束，将其与热两点半函数联系起来。
• 证明RMT行为必须在ΔE_RMT尺度下出现，使得2π/ΔE_RMT ≫ τ，其中τ为热化时间，即ΔE_RMT ≪ 2π/τ。

实验结果

研究问题

• RQ1 ETH矩阵元表现出RMT行为的真正能量尺度是什么？它与Thouless能量有何关系？
• RQ2 为何传统假设中ETH在Thouless能量尺度简化为RMT与宏观输运和热化不一致？
• RQ3 ETH假设中非对角矩阵元r_ij的相关性如何影响可观测量的热化动力学？
• RQ4 输运的水动力学描述在何时尺度上失效？这与ETH中RMT行为的出现有何关联？
• RQ5 能否基于输运特性，为可观测量时间平均期望值偏离其热平衡值的偏差推导出严格的上界？

主要发现

• ETH矩阵元表现出RMT行为的能量尺度ΔE_RMT远小于热化时间的倒数τ⁻¹，即ΔE_RMT ≪ 2π/τ。
• 时间平均偏差矩阵δA_T的最大特征值的上界为x²(T) ≤ 72∫₀^{2π/T} f²(ω)dω，其中f(ω)为形式因子。
• 该上界表明可观测量响应|⟨Ψ|δA_T|Ψ⟩|²受热两点半函数约束，当f²(ω)在2π/T以下为常数时，该上界趋于紧致。
• ETH中RMT行为开始出现的时间尺度，与输运水动力学描述失效的时间尺度相同。
• 若ΔE_RMT远小于Thouless能量2π/τ，则r_ij在窄能量窗口内不相关的假设才成立。
• δA_T的最大特征值受f²(ω)积分的约束，而该积分与谱函数及热相关函数直接相关。