[论文解读] Bound-preserving and entropy-stable algebraic flux correction schemes for the shallow water equations with topography

Hennes Hajduk, Dmitri Kuzmin|arXiv (Cornell University)|Jul 15, 2022

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics被引用 5

一句话总结

本文提出了一种适用于带地形的浅水方程的边界保持且熵稳定的代数通量修正（AFC）格式，采用一体式凸性限制策略，以在静止状态下实现良好平衡性、水深非负性以及熵稳定性。该方法在标准CFL条件下实现了机器精度的静水湖平衡保持与鲁棒的干湿模拟，通过摩擦基算法实现，经1D基准测试验证，具有高精度与稳定性。

ABSTRACT

A well-designed numerical method for the shallow water equations (SWE) should ensure well-balancedness, nonnegativity of water heights, and entropy stability. For a continuous finite element discretization of a nonlinear hyperbolic system without source terms, positivity preservation and entropy stability can be enforced using the framework of algebraic flux correction (AFC). In this work, we develop a well-balanced AFC scheme for the SWE system including a topography source term. Our method preserves the lake at rest equilibrium up to machine precision. The low-order version represents a generalization of existing finite volume approaches to the finite element setting. The high-order extension is equipped with a property-preserving flux limiter. Nonnegativity of water heights is guaranteed under a standard CFL condition. Moreover, the flux-corrected space discretization satisfies a semi-discrete entropy inequality. New algorithms are proposed for realistic simulation of wetting and drying processes. Numerical examples for well-known benchmarks are presented to evaluate the performance of the scheme.

研究动机与目标

• 开发一种适用于带地形浅水方程的数值格式，以保持水深非负性与熵稳定性等关键物理性质。
• 将代数通量修正（AFC）方法扩展至含源项的非齐次双曲系统，特别是有限元离散化方法。
• 在非结构化网格上实现对静水湖平衡状态的良好平衡性，这是有限元方法中长期存在的挑战。
• 设计一种鲁棒的干湿算法，避免在干区域产生虚假振荡并保持稳定性。
• 将现有有限体积方法推广至连续有限元方法，同时保持边界与熵性质。

提出的方法

• 该方法以连续分段线性有限元作为基线离散化，通过保性质的通量限制器扩展至高阶。
• 采用一体式凸性限制（MCL）策略，以水深与速度的边界，确保在标准CFL条件下的非负性。
• 通量校正的空间离散化满足半离散熵不等式，从而保证熵稳定性。
• 通过修改数值通量以精确平衡地形源项，实现静止状态下的良好平衡性，使平衡性保持至机器精度。
• 提出一种新颖的摩擦基干湿算法，避免依赖人工粘性或复杂重构技术。
• 采用自适应时间步长，CFL参数ν=0.05，确保稳定性，无需额外耗散或阶段重复。

实验结果

研究问题

• RQ1 代数通量修正能否被扩展至带地形的浅水方程，同时保持水深非负性与熵稳定性？
• RQ2 在含源项的连续有限元框架中，如何实现对静水湖平衡状态的良好平衡性？
• RQ3 能否设计一种鲁棒的干湿算法，使其在干区域保持稳定并避免虚假振荡？
• RQ4 所提出的AFC格式在具有移动前缘与干状态的基准问题中是否保持精度与激波捕捉能力？
• RQ5 该方法能否推广至高阶有限元，并扩展以包含科里奥利力或底摩擦等额外源项？

主要发现

• 所提出的AFC格式将静水湖平衡保持至机器精度，在非结构化网格上表现出精确的良好平衡性。
• 在标准CFL条件下，水深非负性得到保证，无需额外人工粘性或超出通量修正框架的限制。
• 通量校正的空间离散化满足半离散熵不等式，确保熵稳定性。
• 坝体溃决问题的数值结果与参考解高度一致，速度峰值略低于先前方法，表明存在进一步优化的潜力。
• 在振荡抛物形湖测试中，MCL与MCL-SDE格式准确跟踪精确周期解，低阶格式的解略滞后于精确解。
• 摩擦基干湿算法在ν=0.05下保持稳定且高效，优于导致模拟崩溃或不稳定的其他方法。