[论文解读] Bound states of the Klein-Gordon equation in D-dimensions with some physical scalar and vector exponential-type potentials including orbital centrifugal term

Sameer M. Ikhdair|arXiv (Cornell University)|Oct 5, 2011

Quantum Mechanics and Non-Hermitian Physics参考文献 5被引用 4

一句话总结

本文利用Nikiforov-Uvarov方法，针对包含离心势项的D维Klein-Gordon方程，提出了标量和矢量指数型势的近似解析解。推导了以Jacobi多项式和广义超几何函数表示的相对论性能级谱和径向波函数，适用于任意角动量量子数和维度，且能精确恢复Eckart、Rosen-Morse、Hulthén和Woods-Saxon势的已知结果。

ABSTRACT

The approximate analytic bound state solutions of the Klein-Gordon equation with equal scalar and vector exponential-type potentials including the centrifugal potential term are obtained for any arbitrary orbital angular momentum number l and dimensional space D. The relativistic/non-relativistic energy spectrum equation and the corresponding unnormalized radial wave functions, in terms of the Jacobi polynomials P_{n}^{(α,β)}(z), where α>-1, β>-1 and z\in[-1,+1] or the generalized hypergeometric functions _{2}F_{1}(a,b;c;z), are found. The Nikiforov-Uvarov (NU) method is used in the solution. The solutions of the Eckart, Rosen-Morse, Hulthén and Woods-Saxon potential models can be easily obtained from these solutions. Our results are identical with those ones appearing in the literature. Finally, under the PT-symmetry, we can easily obtain the bound state solutions of the trigonometric Rosen-Morse potential.

研究动机与目标

• 推导D维空间中Klein-Gordon方程在标量和矢量指数型势下的相对论性束缚态解。
• 对任意轨道角动量量子数l，包含离心势项。
• 将Nikiforov-Uvarov方法的应用范围扩展至具有复杂势形式的D维相对论性体系。
• 将Eckart、Rosen-Morse、Hulthén和Woods-Saxon势等已知势模型作为一般解的特例恢复。
• 利用相同形式体系，探讨三角函数Rosen-Morse势的PT对称解。

提出的方法

• 采用Nikiforov-Uvarov（NU）方法求解D维空间中的径向Klein-Gordon方程。
• 应用标准的Greene-Aldrich近似方案，处理任意l态下的离心势项。
• 以满足α > -1、β > -1条件的Jacobi多项式P(α,β)n(z)表示能级谱和径向波函数。
• 采用广义超几何函数2F1(a, b; c; z)表示解，以增强数学一致性。
• 通过设定适当的参数，利用一般势模型恢复特定物理势。
• 将形式体系扩展至PT对称体系，获得三角函数Rosen-Morse势的解。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何对任意l和D的D维Klein-Gordon方程，结合标量和矢量指数型势，实现解析求解？
• RQ2 在包含离心项的情况下，相对论性能级谱和径向波函数的形式为何？
• RQ3 能否将Eckart、Rosen-Morse、Hulthén和Woods-Saxon势的解作为一般解的特例恢复？
• RQ4 PT对称性框架如何实现三角函数Rosen-Morse势中束缚态的推导？
• RQ5 Greene-Aldrich近似在实现非s波态的解析解中起到何种作用？

主要发现

• 能级谱和径向波函数以Jacobi多项式和广义超几何函数的闭合形式导出。
• 通过在一般势模型中设定特定参数，精确恢复了Eckart、Rosen-Morse、Hulthén和Woods-Saxon势的解。
• 对s波（l=0）Rosen-Morse型势的束缚态能级进行了数值验证，结果与文献中已知数据一致。
• 该方法成功扩展至PT对称体系，获得了三角函数Rosen-Morse势的束缚态解。
• 结果与现有文献一致，证实了近似方案和NU方法在D维相对论性量子体系中的有效性。
• 该形式体系为求解不同维度和角动量态下各种指数型势的相对论性束缚态提供了统一框架。