[论文解读] Boundaries of Hypertrees, and Hamiltonian Cycles in Simplicial Complexes

Rogers Mathew, Ilan Newman+2 more|arXiv (Cornell University)|Jul 16, 2015

Topological and Geometric Data Analysis参考文献 15被引用 3

一句话总结

本文研究了单纯复形中 $d$-超树及其边界处的组合结构，对 $d \leq 2$ 的情形在 $\mathbb{F}_2$ 上完整刻画了 $\partial_d T$，并构造了大小为 ${n-1 \choose d}+1$ 的哈密顿 $d$-环（当 $d=2$ 时）以及大小为 ${n-1 \choose d} - O(n^{d-2})$ 的哈密顿 $d$-环（当 $d \geq 3$ 时）。此外，本文证明了 $d$-超树的平均基本圈大小至少为 $c_d \cdot {n-1 \choose d}$，其中 $c_d$ 仅依赖于 $d$，从而解决了高维树中圈依赖性的一个关键问题。

ABSTRACT

A $d$-hypertree on $[n]$ is a maximal acyclic $d$-dimensional simplicial complex with full $(d-1)$-skeleton on the vertex set $[n]$. Alternatively, in the language of algebraic topology, it is a minimal $d$-dimensional simplicial complex $T$ (assuming full $(d-1)$-skeleton) such that $ ilde{H}_{d-1}(T;\mathbb{F})=0$. The $d$-hypertrees are a basic object in combinatorial theory of simplicial complexes. They have been studied; and yet, many of their structural aspects remain poorly understood. In this paper we study the boundaries $\partial_d T$ of $d$-hypertrees, and the fundamental $d$-cycles defined by them. Our findings include: 1. A full characterization of $\partial_d T$ over $\mathbb{F}_2$ for $d \leq 2$, and some partial results for $d \geq 3$. 2. Lower bounds on the maximum size of a largest simple $d$-cycle on $[n]$. In particular, for $d=2$, we construct a {\em Hamiltonian $d$-cycle} $H$ on $[n]$, i.e., a simple $d$-cycle of size ${{n-1} \choose d} + 1$. For $d\geq 3$, we construct a simple $d$-cycle of size ${{n-1} \choose d} - O(n^{d-2})$. 3. Observing that the maximum of the expected distance between two vertices chosen uniformly at random in a tree ($1$-hypertree) on $[n]$ is at most $ hicksim n/3$, attained on Hamiltonian paths, we ask a similar question about $d$-hypertrees. "How large can be the {\em average} size of a fundamental cycle of a $d$-hypertree $T$ (i.e., the expected size of the dependency created by adding a $d$-simplex on $[n]$, chosen uniformly at random, to $T$)?" For every $d \in \mathbb{N}$, we construct an infinite family of $d$-hypertrees $\{T\}$ with the average size of a fundamental cycle at least $c_d\, |T| \,=\, c_d\,{n-1 \choose d}$, where $c_d$ is a constant depending on the dimension $d$ alone.

研究动机与目标

• 理解单纯复形中 $d$-超树及其边界的结构性质，特别是针对 $\mathbb{F}_2$ 等有限域的情形。
• 确定在 $[n]$ 个顶点的 $d$-维单纯复形中，简单 $d$-圈的最大可能大小，尤其是哈密顿圈。
• 分析向 $d$-超树中添加一个随机 $d$-单形后形成的平均基本圈大小，量化高维树中的依赖性。
• 将 $\mathbb{F}_2$ 上的结果推广至 $\mathbb{Q}$，表明 $\mathbb{Q}$-加权树可实现与 $\mathbb{F}_2$ 上等价或更大的圈结构。

提出的方法

• 利用代数拓扑和上同调消失条件，在 $\mathbb{F}_2$ 上刻画 $d$-超树的边界 $\partial_d T$，重点研究 $d \leq 2$ 的情形。
• 通过组合与极值论证方法，界定最大简单 $d$-圈的大小，并利用递归锥与邻域算子显式构造哈密顿圈。
• 应用平均值与极值计数技术，证明具有大填充体积的 $d$-超树必须包含参与大量填充的 $d$-面。
• 利用填充体积的 $l_2$-范数与双重计数论证，推导出割集与填充大小乘积的最大下界。
• 通过证明 $\mathbb{F}_2$-无圈的简单圈也是 $\mathbb{Q}$-无圈的，将 $\mathbb{F}_2$ 上的结果推广至 $\mathbb{Q}$，从而实现具有所需边界的 $\mathbb{Q}$-加权树的构造。
• 采用锥扩张与 $n=6$ 的情形分析，证明存在具有任意给定 $1$-圈边界的 $\mathbb{Q}$-加权树，并将结果推广至更高维度。

实验结果

研究问题

• RQ1 在 $\mathbb{F}_2$ 上，$d$-超树的边界 $\partial_d T$ 的结构是怎样的，特别是当 $d \leq 2$ 时？
• RQ2 在 $n$ 个顶点的 $d$-维单纯复形中，简单 $d$-圈的最大可能大小是多少？对于 $d \geq 2$，能否构造出哈密顿圈？
• RQ3 在 $d$-超树中，基本圈的平均大小可以有多大？可以为该平均值建立哪些下界？
• RQ4 $\mathbb{F}_2$-圈的结果能否推广至 $\mathbb{Q}$？$\mathbb{Q}$-加权树是否允许比 $\mathbb{F}_2$ 上更大的或更灵活的圈结构？

主要发现

• 对于 $d \leq 2$，本文在 $\mathbb{F}_2$ 上完整刻画了 $d$-超树的边界 $\partial_d T$，解决了基础性的结构问题。
• 显式构造了一个大小为 ${n-1 \choose 2} + 1$ 的哈密顿 $2$-圈，其大小达到了简单 $2$-圈的最大可能值。
• 对于 $d \geq 3$，本文构造了一个大小为 ${n-1 \choose d} - O(n^{d-2})$ 的简单 $d$-圈，表明高维中几乎最大化的圈是存在的。
• 本文构造了一个无限族的 $d$-超树，其平均基本圈大小至少为 $c_d \cdot {n-1 \choose d}$，其中 $c_d = 16(48)^{-3^{d-1}}$，表明高维树中的依赖性可能非常显著。
• $\mathbb{F}_2$ 上的结果可推广至 $\mathbb{Q}$：每个简单 $\mathbb{F}_2$-圈都包含于一个简单 $\mathbb{Q}$-圈中，且 $\mathbb{Q}$-加权树可实现所有 $n \geq 6$ 个顶点上的 $1$-圈。
• 对于 $d=2$，当所有 $n \geq 6$ 时，$n$-顶点的哈密顿 $2$-圈在 $\mathbb{Q}$ 上存在，其范围超出了 $\mathbb{F}_2$ 情形下受奇偶性限制的范围。