[论文解读] Boundaries, rigidity of representations, and Lyapunov exponents

Uri Bader, Alex Furman|arXiv (Cornell University)|Apr 21, 2014

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 23被引用 25

一句话总结

本文建立了边界理论、群表示的刚性性与动力系统中Lyapunov指数简单性之间的联系。通过引入群边界的新遍历特征并运用可测上链技巧，证明了在较弱的非阿贝尔或Zariski稠密假设下，Lyapunov谱是简单的，将超刚性原理推广至非保测度动力系统。

ABSTRACT

In this paper we discuss some connections between measurable dynamics and rigidity aspects of group representations and group actions. A new ergodic feature of familiar group boundaries is introduced, and is used to obtain rigidity results for group representations and to prove simplicity of Lyapunov exponents for some dynamical systems.

研究动机与目标

• 为研究群表示的刚性性，提出群边界的新遍历特征。
• 证明某些非概率测度保持动力系统中Lyapunov指数的简单性。
• 利用可测上链方法，将超刚性型结果推广至非保测度作用之外。
• 通过边界理论，建立旗流形上不变测度与可测Γ-映射之间的对应关系。
• 构建一个利用G/P上测度的压缩性与鞅收敛性来证明谱简单性的框架。

提出的方法

• 引入勒贝格Γ-空间的等距遍历性概念，以及此类空间之间Γ-映射的相对等距遍历性。
• 利用边界对(X, Φ)的概念，其中Φ: X → G/P是Γ-等变映射，以定义进入旗流形的可测Γ-映射。
• 应用鞅收敛定理，对一个几乎处处的x ∈ X，构造条件期望ν₋(x) = ℰ(δψ₋(x) | ℱ≥0)。
• 采用压缩论证：若exp(an)*νn → δeP，则对每个正根χ，有χ(an) → ∞。
• 构造一个共轭映射c: X → G，使得c(Tx)F(x)c(x)⁻¹ ∈ A = exp(𝔪a)，从而保证c(x)ν₋(x)为恰当测度。
• 使用Kakutani归纳法，过渡到一个具有正测度返回时间的子系统(X*, m*, T*)，并保持Lyapunov谱（至比例因子）不变。

实验结果

研究问题

• RQ1 边界作用的等距遍历性是否能蕴含群表示的刚性性？
• RQ2 在何种条件下，可测上链的Lyapunov谱是简单的？
• RQ3 边界理论如何用于分析具有非紧或非阿贝尔结构的非保测度动力系统？
• RQ4 Zariski稠密性在确保Lyapunov指数谱简单性方面起什么作用？
• RQ5 G/P上测度的压缩性是否可用于推导遍历理论中的定量增长估计？

主要发现

• 若关联测度ν₋(x)在G/P上为恰当测度，且F(T⁻ⁿx)⋯F(T⁻¹x)ₚ*ν₋(T⁻ⁿx) → δeP，则可测上链F: X → G的Lyapunov谱Λ是简单的。
• 对于诱导系统(X*, m*, T*)，Lyapunov谱Λ*与原谱Λ成比例，即Λ* = (1/m(X*)) · Λ。
• 若ρ(Γ)在G中Zariski稠密，则Lyapunov谱是简单的，即使不假设存在Γ-不变测度。
• 存在一个可测Γ-映射ψ⋈: X → G/A′，其在G/P上的投影确保了上链的一致边界数据存在。
• 映射ψ₋通过从边界B₋到G/P的Γ-映射的拉回构造，且满足ψ₋(x) = pr₁(ψ⋈(x))。
• 几乎处处的条件测度ν₋(x)为恰当测度，这对压缩论证至关重要，可推出对所有正根χ，均有χ(Λ) > 0。