[论文解读] Boundary action of automaton groups without singular points and Wang tilings

Daniele D’Angeli, Thibault Godin+3 more|arXiv (Cornell University)|Apr 26, 2016

Cellular Automata and Applications参考文献 17被引用 3

一句话总结

本文研究无奇异点的自动机群——即边界上稳定子映射不连续的点——通过收缩自动机和双可逆结构对这类群进行表征。它通过交换对与螺旋图，建立了奇异点不存在性与非周期性 Wang 密铺之间的深刻联系，证明了不存在非平凡交换对的初等自由自动机群会产生非周期性密铺。

ABSTRACT

We study automaton groups without singular points, that is, points in the boundary for which the map that associates to each point its stabilizer, is not continuous. This is motivated by the problem of finding examples of infinite bireversible automaton groups with all trivial stabilizers in the boundary, raised by Grigorchuk and Savchuk. We show that, in general, the set of singular points has measure zero. Then we focus our attention on several classes of automata. We characterize those contracting automata generating groups without singular points, and apply this characterization to the Basilica group. We prove that potential examples of reversible automata generating infinite groups without singular points are necessarily bireversible. Then we provide some necessary conditions for such examples to exist, and study some dynamical properties of their Schreier graphs in the boundary. Finally we relate some of those automata with aperiodic tilings of the discrete plane via Wang tilings. This has a series of consequences from the algorithmic and dynamical points of view, and is related to a problem of Gromov regarding the searching for examples of CAT(0) complexes whose fundamental groups are not hyperbolic and contain no subgroup isomorphic to $\mathbb{Z}^{2}$.

研究动机与目标

• 解决格里戈尔丘克与萨夫丘克提出的开放问题：是否存在无限双可逆自动机群，其在边界上具有平凡稳定子。
• 表征无奇异点的自动机群，特别是收缩与双可逆类群。
• 通过交换对与螺旋图，建立奇异点不存在性与非周期性 Wang 密铺之间的联系。
• 研究边界上 Schreier 图的动力学性质及其与群作用的关系。
• 探讨此类群的可判定性与结构约束，尤其在非初等交换对的背景下。

提出的方法

• 利用自动机群的边界作用，分析稳定子映射的连续性以定义奇异点。
• 应用螺旋图概念，将奇异点问题转化为非初等交换字对的存在性问题。
• 引入强奇异与本质奇异螺旋图的概念，以表征奇异点的缺失。
• 通过对偶自动机构造，建立自动机群与 Wang 密铺集之间的对应关系，特别是 M ⊔ M⁻¹。
• 利用 B"uchi 自动机与形式语言理论的结果，表征收缩情形下的稳定自动机。
• 利用 Kari-Papasoglu 密铺框架，将周期性与非周期性密铺与交换对的存在性联系起来。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，由收缩自动机构造的自动机群不具有奇异点？
• RQ2 是否存在无奇异点的双可逆自动机群？若存在，其必须满足何种结构约束？
• RQ3 非初等交换对与非周期性 Wang 密铺的存在性之间有何关系？
• RQ4 对于给定的 Mealy 自动机，奇异点的存在性是否可判定？
• RQ5 即使奇异点不同，其 Schreier 图是否可能同构？

主要发现

• 任何自动机群边界上的奇异点集合测度为零。
• 对于双可逆自动机群，奇异点恰好与具有非平凡稳定子的点重合，证实此类群本质上自由作用。
• 在收缩情形下，无奇异点的自动机群可表征为生成稳定自动机的群，其稳定字的语言可由 B"uchi 自动机识别。
• 证明 Basilica 群无奇异点，与 Hanoi 塔群形成鲜明对比。
• 存在非初等交换对 u ∈ (Q ∖ {e})*, v ∈ Σ* 当且仅当存在 Kari-Papasoglu 类型的周期性密铺。
• 由 M ⊔ M⁻¹ 衍生的密铺集可实现非周期性密铺，当且仅当对应的自动机无非初等交换对且为初等自由，通过定理 6.16 实现完全表征。