[论文解读] Boundary behavior of the Kobayashi metric near a point of infinite type

Tran Vu Khanh|arXiv (Cornell University)|Feb 4, 2013

Holomorphic and Operator Theory参考文献 14被引用 3

一句话总结

该论文在弱拟凸域靠近无限类型边界点处，于一个潜在理论的 $f$-性质条件下，建立了Kobayashi度量的精确下界。通过使用强次调和逼近函数及 $\bar\partial$-Neumann问题的估计，证明了 $K(z,X) \gtrsim g(\delta_\Omega(z)^{-1})|X|$，其中 $g^{-1}(t) = \int_t^\infty \frac{da}{a f(a)}$，推广了有限类型域的已知结果，并改进了下界中衰减率的估计。

ABSTRACT

Under a potential-theoretical hypothesis named $f$-Property with $f$ satisfying $\displaystyle\int_t^\infty \dfrac{da}{a f(a)}

研究动机与目标

• 在拟凸域中靠近无限类型边界点处，建立Kobayashi度量的逐点下界。
• 在较弱的光滑性假设下，将先前关于Bergman度量的结果推广至Kobayashi度量。
• 与先前工作相比，特别是在无限类型情形下，改进下界中衰减率的估计。
• 将度量估计应用于全纯映射在域之间 Hölder 正则性的研究。
• 统一并扩展若干复变量中度量估计的 $f$-性质框架。

提出的方法

• 在边界点 $z_0$ 处引入 $f$-性质，要求存在具有受控Lévi形式和梯度的 $C^2$ 强次调和逼近函数 $\phi_\delta$。
• 利用 $f$-性质，通过Schwarz-Pick引理及全纯圆盘的估计，推导出Kobayashi度量的下界。
• 将 $g(t)$ 定义为积分 $\int_t^\infty \frac{da}{a f(a)}$ 的反函数，该函数决定了度量的增长速率。
• 应用子水平集方法与Jensen不等式，控制从单位圆盘出发的全纯映射的导数。
• 使用Hardy-Littlewood型引理4.1，将梯度有界性与全纯映射的 $f$-Hölder连续性联系起来。
• 建立一条估计链，通过 $f$-性质条件将Kobayashi度量、到边界距离 $\delta_\Omega(z)$ 与函数 $g$ 联系起来。

实验结果

研究问题

• RQ1 在弱拟凸域中靠近无限类型边界点处，Kobayashi度量的最优下界是什么？
• RQ2 边界几何上的 $f$-性质条件如何影响度量的渐近行为？
• RQ3 与先前关于Bergman度量的结果相比，Kobayashi度量的下界能否得到改进？
• RQ4 在何种条件下，两个域之间的全纯映射能连续延拓并具有受控正则性？
• RQ5 积分条件 $\int_t^\infty \frac{da}{a f(a)} < \infty$ 如何与度量的增长率相关联？

主要发现

• 在无限类型边界点附近，Kobayashi度量满足 $K(z,X) \gtrsim g(\delta_\Omega(z)^{-1})|X|$，其中 $g^{-1}(t) = \int_t^\infty \frac{da}{a f(a)}$。
• 对于有限类型域，该估计恢复了 $g(t) = t^{1/m}$ 的形式，$m$ 为类型，优于先前的 $t^{1/m - \eta}$ 估计。
• 对于满足 $f(t) = \log^{1+\epsilon} t$ 的无限类型域，该估计给出 $g(t) = \log^\epsilon t$，比先前结果中的 $\log^\epsilon(t^{1-\eta})$ 更为精确。
• 该结果在 $C^2$ 边界正则性下成立，弱化了先前工作中所需的 $C^\infty$ 假设。
• $f$-性质条件足以推导出度量的下界，且适用于有限与无限类型域。
• 证明了满足 $f$-性质的域中的全纯映射为 $h$-Hölder连续，其中 $h(t)^{-1} \sim \int_{t^\eta}^\infty \frac{db}{b g(b)}$，从而改进了正则性估计。