[论文解读] Boundary conditions at spatial infinity from a Hamiltonian point of view

Piotr T. Chruściel|arXiv (Cornell University)|Dec 1, 2013

Black Holes and Theoretical Physics被引用 47

一句话总结

本文在四维协变哈密顿框架下，利用广义相对论的仿射形式，推导了ADM能量-动量，证明了在空间无穷远处边界条件显著弱化的情况下，标准ADM表达式依然保持良好定义且有限——具体而言，对于渐近于闵可夫斯基空间、衰减率为 $\alpha > 1/2$ 的度量。其主要贡献是在最小假设下对ADM能量提供了严格的论证，解决了先前推导中的歧义，并表明质量在满足 $\alpha > 1/2$ 的坐标变换下保持不变。该方法避免了3+1分解，依赖于全协变设定下的辛几何与边界项分析。

ABSTRACT

We show that the ADM mass and momentum are geometric invariants of asymptotically flat initial data sets

研究动机与目标

• 提供一种几何化、哈密顿化的ADM能量-动量推导，避免标准的3+1分解及其相关歧义。
• 确定空间无穷远处使ADM能量有限且良好定义的最弱边界条件。
• 证明ADM质量在保持 $\alpha$-渐近平坦性且 $\alpha > 1/2$ 的坐标变换下保持不变。
• 通过广义相对论的全协变、仿射形式，澄清先前ADM哈密顿量推导中的不一致之处。

提出的方法

• 采用广义相对论的仿射形式，其中引力由 $GL(4,\mathbb{R})$ 连接 $\Gamma_{\mu\nu}^{\lambda}$ 描述，实现全四维协变计算。
• 应用Kijowski-Tulczyjew哈密顿形式化，将能量泛函表示为对类空超曲面 $\Sigma$ 的积分，公式为 $E(X,\Sigma) = \int_\Sigma (\pi_\alpha^{\gamma\mu\beta} \mathcal{L}_X \Gamma_{\beta\gamma}^\alpha - X^\mu L) \eta_\mu$。
• 分析作用量变分中产生的边界项，表明当度量以 $\alpha > 1/2$ 的衰减速率趋近闵可夫斯基空间时，ADM能量是良好定义的。
• 引入 $\alpha$-渐近平坦度量的概念，其中 $g_{ij} - \delta_{ij} = O(r^{-\alpha})$，并证明ADM质量在该衰减条件下为有限且在满足此条件的坐标变换下保持不变。
• 利用辛几何证明广义相对论的相空间同构于满足适当边界条件的场方程解空间，避免依赖ADM变量 $g_{ij}, P^{ij}$。
• 应用Y. Choquet-Bruhat与D. Christodoulou关于 $H_{s,\delta}$ 空间中解存在的结果，确认该框架在 $\alpha > 1/2$ 条件下有效。

实验结果

研究问题

• RQ1 在哈密顿框架下，确保ADM能量有限且良好定义的空间无穷远处最弱边界条件集合是什么？
• RQ2 ADM能量如何在保持 $\alpha$-渐近平坦性且 $\alpha > 1/2$ 的坐标变换下保持不变？
• RQ3 能否仅使用四维协变结构，而不依赖3+1分解，推导出ADM哈密顿量？
• RQ4 广义相对论的仿射形式在简化ADM能量推导并澄清先前方法中的歧义方面起到什么作用？
• RQ5 对于以 $O(r^{-\alpha})$ 衰减的度量，若 $\alpha \leq 1/2$，ADM质量是否有限且良好定义？若否，原因是什么？

主要发现

• 对于 $\alpha$-渐近平坦度量且 $\alpha > 1/2$，ADM能量为有限且良好定义，且该条件为最优：当 $\alpha \leq 1/2$ 时，质量可能为无穷大或任意值。
• ADM质量在保持 $\alpha$-渐近平坦性且 $\alpha > 1/2$ 的坐标变换下保持不变，动量的变换由正交矩阵 $\omega_{ij}$ 控制。
• 在 $\alpha > 1/2$ 衰减的极限下，标准ADM能量表达式被恢复，且推导与广义相对论相空间的辛结构一致。
• 本文表明，只要坐标满足 $\alpha$-渐近平坦性且 $\alpha > 1/2$，ADM能量即与坐标选择无关，从而解决了先前的歧义。
• 对于在 $1/2$-允许坐标下的平坦度量，ADM质量可取任意非负值，取决于坐标变换，证明 $\alpha > 1/2$ 是保证有限性的最佳可能衰减速率。
• 该框架支持通过Witten型论证实现质量的正性，与O. Reula关于Witten方程在此类度量中解的存在性结果一致。