[论文解读] Boundary Conditions for Scalar Curvature

Christian Bär, Bernhard Hanke|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2021

Advanced Operator Algebra Research参考文献 27被引用 7

一句话总结

本文利用Atiyah-Patodi-Singer指标公式，建立了在无限K-面积的自旋流形上，具有平均凸边界且正 scalar 曲率度量的障碍，并证明了边界条件的一般变形原理，该原理在正 scalar 曲率度量空间中诱导弱同伦等价。此外，本文进一步构造了某些紧致流形，其正 scalar 曲率度量空间具有非平凡的高阶同伦群，从而细化了关于奇点与边界变形的已知结果。

ABSTRACT

Based on the Atiyah-Patodi-Singer index formula, we construct an obstruction to positive scalar curvature metrics with mean convex boundaries on spin manifolds of infinite $K$-area. We also characterize the extremal case. Next we show a general deformation principle for boundary conditions of metrics with lower scalar curvature bounds. This implies that the relaxation of boundary conditions often induces weak homotopy equivalences of spaces of such metrics. This can be used to refine the smoothing of codimension-one singularites à la Miao and the deformation of boundary conditions à la Brendle-Marques-Neves, among others. Finally, we construct compact manifolds for which the spaces of positive scalar curvature metrics with mean convex boundaries have nontrivial higher homotopy groups.

研究动机与目标

• 确定在无限K-面积自旋流形上，存在具有平均凸边界的正 scalar 曲率度量的拓扑障碍。
• 刻画此类障碍消失的极值情形。
• 在下界 scalar 曲率约束下，建立边界条件的一般变形原理。
• 证明放松边界条件会诱导正 scalar 曲率度量空间之间的弱同伦等价。
• 构造紧致流形，使其具有平均凸边界的正 scalar 曲率度量空间具有非平凡的高阶同伦群。

提出的方法

• 以Atiyah-Patodi-Singer指标公式作为基础工具，推导出拓扑障碍。
• 将该指标公式应用于带边界的自旋流形，重点关注具有平均凸边界和正 scalar 曲率的度量。
• 提出一种一般变形原理，允许在保持下界 scalar 曲率约束的前提下，连续地变形边界条件。
• 证明此类变形在正 scalar 曲率度量空间之间诱导弱同伦等价。
• 将该变形原理应用于改进关于光滑化余维一奇点及边界条件变形的已有结果。
• 显式构造紧致流形，以实现具有平均凸边界的正 scalar 曲率度量空间中非平凡的高阶同伦群。

实验结果

研究问题

• RQ1 在无限K-面积自旋流形上，哪些拓扑障碍会阻止具有平均凸边界的正 scalar 曲率度量的存在？
• RQ2 在何种条件下，此类障碍的极值情形会发生？
• RQ3 边界条件的放松如何影响正 scalar 曲率度量空间的同伦型？
• RQ4 该变形原理能否用于改进已知构造，例如Miao对奇点的光滑化或Brendle-Marques-Neves的边界条件变形？
• RQ5 是否存在紧致流形，使得其具有平均凸边界的正 scalar 曲率度量空间具有非平凡的高阶同伦群？

主要发现

• 通过Atiyah-Patodi-Singer指标公式，在无限K-面积自旋流形上建立了具有平均凸边界的正 scalar 曲率度量的障碍。
• 极值情形——即障碍消失的情形——已通过指标理论条件得到完全刻画。
• 证明了一般变形原理，表明放松边界条件会在这些度量空间中诱导弱同伦等价。
• 该变形原理可改进先前结果，包括Miao对余维一奇点的光滑化以及Brendle-Marques-Neves的边界条件变形。
• 显式构造了某些紧致流形，其具有平均凸边界的正 scalar 曲率度量空间具有非平凡的高阶同伦群。