[论文解读] Boundary conditions in charge conjugate sl(N) WZW theories

V. B. Petkova, Jean-Bernard Zuber|ArXiv.org|Jan 29, 2002

Superconducting Materials and Applications参考文献 4被引用 17

一句话总结

本文通过计算仿射 $\widehat{sl}(N)$ Wess-Zumino-Witten (WZW) 理论中非负整数矩阵表示（nim-reps）来确定电荷共轭 $\widehat{sl}(N)$ WZW 理论的边界条件。它建立了这些边界条件与 $sl(N)$ 表示分解为 $B_l = so(2l+1)$ 或 $C_l = sp(2l)$ 表示之间的联系，利用仿射 $B$ 和 $C$ 代数的模数据来表达 nim-reps 及其对角化矩阵。

ABSTRACT

We compute the representations (``nimreps'') of the fusion algebra of affine sl(N), which determine the boundary conditions of sl(N) WZW theories twisted by the charge conjugation. This is done following two procedures, one of general validity, the other specific to the problem at hand. The problem is related to the classical problem of decomposition of the fundamental representations of sl(N) onto representations of $B_l=so(2l+1)$ or $C_l =sp(2l)$ algebras. The relevant nimreps and their diagonalisation matrix are thus expressed in terms of modular data of the affine B or C algebras

研究动机与目标

• 确定电荷共轭 $\widehat{sl}(N)$ WZW 理论的融合代数的非负整数矩阵表示（nim-reps）
• 将边界条件数据与 $sl(N)$ 表示分解为 $B_l = so(2l+1)$ 或 $C_l = sp(2l)$ 代数表示的典型问题联系起来
• 用仿射 $B$ 和 $C$ 代数的模数据表达 nim-reps 及其对角化矩阵
• 将先前针对 $N=3$ 和 $N=4$ 的结果推广到任意 $N$
• 推导出 $C_l^{(1)}$ 仿射代数的新模矩阵关系，据作者所知，这些关系是全新的

提出的方法

• 基于 Cardy 一致性条件的一般性方法，将 nim-reps 计算为满足 $n_\lambda n_\mu = \sum_\nu N_{\lambda\mu}^\nu n_\nu$ 的矩阵 $n_\lambda$，其中 $N_{\lambda\mu}^\nu$ 是 $\widehat{sl}(N)$ 的融合规则
• 应用第二种特定问题的方法，利用 Weyl 仿射空间中指数 $\mu = \mu^*$ 的实性，导致 nim-rep 矩阵对称
• 将 $n_\lambda$ 的特征值构造为 $\chi_\lambda(\mu) = S_{\lambda\mu}/S_{\rho\mu}$，其中 $S$ 是 $\widehat{sl}(N)$ 的模 $S$-矩阵
• 将指数集合 $\mathrm{Exp}^{(h)}$ 识别为 Weyl 仿射空间中的实权重，其结构在 $N$ 为奇数和偶数时不同
• 利用特征向量的正交基 $\psi$ 对 nim-reps 进行对角化，并通过三角系统 $n_{\lambda 1}^a = \delta_{a a_\lambda} + \sum_{\mu \prec \lambda} b_{\lambda\mu} \delta_{a a_\mu}$ 递归重构矩阵
• 在 Mathematica 中实现该算法，利用图代数是交换代数且由与顶点 $a \in \mathcal{V}$ 相关的邻接矩阵 $\hat{N}_a$ 生成的性质

实验结果

研究问题

• RQ1 如何通过融合代数表示系统地确定电荷共轭 $\widehat{sl}(N)$ WZW 理论中的边界条件？
• RQ2 将 $sl(N)$ 表示分解为 $B_l$ 或 $C_l$ 表示与边界条件结构之间的代数联系是什么？
• RQ3 仿射 $B_l$ 和 $C_l$ 代数的模数据如何编码电荷共轭 $\widehat{sl}(N)$ 理论的 nim-reps？
• RQ4 nim-rep 矩阵对称的条件是什么，这与 $N$-性及指数实性有何关联？
• RQ5 能否基于正交特征向量和顶点贡献的递归算法，从最小数据重建完整的 nim-rep 结构？

主要发现

• 电荷共轭 $\widehat{sl}(N)$ WZW 理论的 nim-rep 矩阵是对称的，因为指数的实性 $\mu = \mu^*$ 暗示 $\chi_\lambda(\mu) = \chi_{\lambda^*}(\mu)$
• 对于奇数 $N = 2l+1$ 和偶数水平 $h$，在 Weyl 仿射空间中所有 $\lambda$ 都有 $n_{\lambda 1}^1 = 1$
• 对于奇数 $N = 2l+1$ 和奇数 $h$，当且仅当 $\lambda$ 的所有 Dynkin 标签 $\lambda_i$ 均为奇数时，$n_{\lambda 1}^1 = 1$
• 对于偶数 $N = 2l$，当且仅当 $\lambda$ 的奇数位置 Dynkin 索引之和为 1，即 $\lambda = (1, \lambda_2, 1, \lambda_4, \dots, \lambda_{2l-2}, 1)$ 时，$n_{\lambda 1}^1 = 1$
• 该算法成功地通过基于正交特征向量和顶点贡献的递归过程重构了完整的 nim-rep 矩阵，且在 Mathematica 中实现
• 对于偶数 $N$，$C_l^{(1)}$ 代数的模 $S$-矩阵元素与 nim-rep 的单位特征向量矩阵一致，将其与扭曲仿射代数 $A^{(2)}_{2l-1}$ 和 $D^{(2)}_{l+1}$ 的 $S$-矩阵联系起来