[论文解读] Boundary control of cascaded ODE-Heat equations under actuator saturation

Wen Kang, Emilia Fridman|arXiv (Cornell University)|Aug 12, 2016

Stability and Controllability of Differential Equations参考文献 16被引用 3

一句话总结

该论文提出了一种基于反步法的边界控制律，用于具有时变状态延迟和执行器饱和的级联 ODE-热系统。通过将反步法扩展至时滞系统，并结合使用线性矩阵不等式（LMI）的Lyapunov-Krasovskii泛函，推导出与延迟无关的指数稳定性条件，并计算了吸引域的估计值，确保在执行器饱和约束下，初始条件位于保证区域内时系统具有全局指数稳定性。

ABSTRACT

In this paper, we consider boundary stabilization for a cascade of ODE-heat system with state delay under actuator saturation. To stabilize the system, we design a state feedback controller via the backstepping method and find a bound on the domain of attraction. The latter bound is based on Lyapunov method, whereas the exponential stability of the delayed cascaded systems is proved by using Halanay's inequality. Numerical examples illustrate the efficiency of the method.

研究动机与目标

• 解决在执行器饱和和时变延迟条件下，PDE-ODE级联系统缺乏边界控制方法的问题。
• 将反步法扩展至具有状态延迟的系统，通过Volterra积分变换实现稳定化。
• 利用Halanay不等式和Lyapunov方法推导出与延迟无关的稳定性条件。
• 在执行器饱和约束下，估计闭环系统的最大可能吸引域。
• 提供基于LMI的控制器设计条件，确保在可计算的初始状态区域内实现指数稳定性。

提出的方法

• 使用Volterra积分变换将带有延迟的原始ODE-热系统映射为具有耦合动态的目标系统。
• 将反步法扩展至处理ODE和PDE部分中均存在时变延迟的系统。
• 为目标系统构造Lyapunov-Krasovskii泛函，以推导出与延迟无关的指数稳定性条件。
• 采用线性矩阵不等式（LMI）设计状态反馈控制器，以满足执行器饱和约束。
• 通过求解LMI来估计吸引域，以最大化确保指数收敛的初始状态集合大小。
• 数值仿真通过有限差分格式，结合特定初始条件和延迟值，验证了该方法的有效性。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将反步法扩展至在执行器饱和下稳定具有时变状态延迟的级联ODE-热系统？
• RQ2 在控制饱和条件下，闭环系统保持指数稳定的初始条件的最大集合是什么？
• RQ3 能否利用Lyapunov方法和Halanay不等式，为这类系统推导出与延迟无关的稳定性条件？
• RQ4 如何利用LMI设计边界控制器，在满足输入饱和的同时确保指数稳定性？
• RQ5 控制器设计参数与估计吸引域大小之间存在何种关系？

主要发现

• 对于Dirichlet型执行器，吸引域估计为 $\mathcal{X}_{u} = \{(X_0,u_0) \in W_1 : 1.34\max_{[-h,0]}|X_0|^2 + 2.24\max_{[-h,0]}\|u_0\|^2 \leq 1\}$，其中 $h=0.4$，确保该集合内初始状态的指数稳定性。
• 对于Neumann型执行器，吸引域估计为 $\mathcal{X}_{u} = \{(X_0,u_0) \in W_1 : 13.96\max_{[-h,0]}|X_0|^2 + 16.67\max_{[-h,0]}\|u_0\|^2 + 0.47\max_{[-h,0]}\|u_0'\|^2 \leq 1\}$，其中 $h=0.4$，确认该区域内初始条件的稳定性。
• 当初始条件位于估计吸引域内时，仿真结果成功实现了系统稳定；而当初始条件超出该区域时，系统出现不稳定。
• Dirichlet执行器的 $\beta$ 最小值为 0.0739，Neumann执行器为 0.1176，分别对应于包含在吸引域内的最大椭球。
• 数值结果表明，即使在执行器饱和条件下，控制器仍能保持初始状态在计算出的椭球边界内的指数稳定性。
• 该方法可扩展至具有全局Lipschitz非线性的非线性ODE-热系统，以及基于观测器的控制设计。