[论文解读] Boundary critical behaviour of two-dimensional random Potts models

Gábor Palágyi, Christophe Chatelain+2 more|arXiv (Cornell University)|Oct 19, 2012

Theoretical and Computational Physics参考文献 4被引用 3

一句话总结

本研究通过蒙特卡洛模拟与转移矩阵方法，研究了二维随机q状态Potts模型（3 ≤ q ≤ 8）在 quenched disorder 条件下的边界与体临界行为。结果表明，临界指数 β 和 β₁，以及标度维数 β₁/ν 与 β/ν 随 q 单调增加。通过共形场论预测，提供了强有力的数值证据，证明磁化强度分布与自旋关联函数存在多分形标度行为，证实了在无序系统中临界点处共形不变性的有效性。

ABSTRACT

Using extensive Monte Carlo simulations, transfer matrix techniques and conformal invariance, ferromagnetic random $q-$state Potts models for $3\\le q\\le 8$ are studied in the vicinity of the critical temperature. In particular the surface and bulk magnetization exponents $\\beta_1$ and β are found monotonically increasing with q. At the critical temperature, different moments (n) of the magnetization profiles are calculated which are all found to accurately follow predictions of conformal invariance. The critical correlation functions show multifractal behaviour, the decay exponents of the different moments both in the volume and at the surface, are $n-$dependent.

研究动机与目标

• 研究二维随机q状态Potts模型在quenched disorder条件下的表面临界行为，超越体临界性。
• 通过逼近临界点的蒙特卡洛模拟，确定表面磁化强度临界指数 β₁ 与体临界指数 β。
• 分析具有固定-自由边界条件的条带几何结构中的临界磁化强度分布，并利用共形场论预测提取标度维数 β₁/ν 与 β/ν。
• 在临界点检验磁化强度分布与自旋-自旋关联函数的平均矩是否存在多分形标度行为。
• 通过将数值结果与共形场论预测进行比较，验证共形不变性在无序系统中的适用性。

提出的方法

• 在正方形晶格上采用蒙特卡洛模拟，对随机键Potts模型进行模拟，其中耦合常数 J1 > J2 以相等概率分配。
• 使用转移矩阵技术计算临界性质，并通过有限尺寸标度法，从体磁化强度与表面磁化强度随温度的变化关系中估计临界指数 β 与 β₁。
• 分析具有自由与固定边界条件的条带几何结构中的磁化强度分布，利用共形场论预测提取标度维数 x₁ = β₁/ν 与 xb = β/ν。
• 计算磁化强度分布与自旋-自旋关联函数的 n 阶矩，以检验多分形标度行为，并将结果拟合至共形标度形式。
• 应用有限尺寸标度与外推至无限系统尺寸（L → ∞）的方法，获得可靠的标度维数与临界指数估计值。
• 将数值结果与 q 的一阶与二阶微扰理论进行比较，特别针对 x(n)₆ 与 x(n)₁，以评估场论预测的有效性。

实验结果

研究问题

• RQ1 quenched disorder 如何影响二维随机Potts模型的表面临界行为？表面指数 β₁ 是否与纯模型不同？
• RQ2 临界指数 β 与 β₁ 是否随 q 连续变化？在 3 ≤ q ≤ 8 范围内是否单调增加？
• RQ3 临界磁化强度分布与自旋-自旋关联函数的平均矩在多大程度上表现出多分形标度行为？
• RQ4 从 n 阶矩导出的标度维数 x(n)₆ 与 x(n)₁ 是否符合无序系统中共形场论的预测？
• RQ5 是否可通过仅将振幅作为拟合参数，数值验证共形场论给出的磁化强度分布表达式？

主要发现

• 表面磁化强度临界指数 β₁ 随 q 单调增加，从 q=3 时的约 0.37 增加至 q=8 时的 0.42，表明随着 q 增大，表面有序性增强。
• 体临界指数 β 同样随 q 增加，从 0.37 增至 0.42，且在所有研究的 q 值下，关系式 4β ≈ β₁ 近似成立。
• 从条带几何结构中临界磁化强度分布提取的标度维数 x₁ = β₁/ν 与 xb = β/ν 与共形场论预测一致。
• 磁化强度分布与自旋-自旋关联函数的 n 阶矩表现出与共形不变性一致的标度行为，其标度维数 x(n)₆ 与 x(n)₁ 依赖于 n。
• 对 q=3 与 q=4 的标度维数数值估计值与一阶微扰理论结果良好吻合，但高阶矩出现偏差，表明微扰理论在 n ≥ 3 时失效。
• 在 L→∞ 外推下，q=8 的磁化强度分布与共形表达式完全一致，仅将振幅作为拟合参数，为无序系统中临界点处共形不变性的有效性提供了强有力证据。