[论文解读] Boundary criticality via gauging finite subgroups: a case study on the clock model

Lei Su|arXiv (Cornell University)|Jun 5, 2023

Particle physics theoretical and experimental studies被引用 5

一句话总结

本文提出了一种通过规范化非异常0形式对称性中有限阿贝尔正规子群来生成非惯例量子临界点的机制。当在临界点处完全自发对称性自发破缺时，规范化子群Γ，该理论在d=1时映射为禁闭量子临界点（DQCP），在d≥2时映射为对称性破缺相与拓扑序相之间的临界点，这是由于剩余对称性G/Γ与对偶(d−1)形式对称性Γ̂之间存在混合't Hooft异常。关键结果是，规范化过程中，序参量与反序参量的标度律得以保持，从而能够精确表征非惯例临界性。

ABSTRACT

Gauging a finite Abelian normal subgroup $Γ$ of a nonanomalous 0-form symmetry $G$ of a theory in $(d+1)$D spacetime can yield an unconventional critical point if the original theory has a continuous transition where $Γ$ is completely spontaneously broken and if $G$ is a nontrivial extension of $G/Γ$ by $Γ$. The gauged theory has symmetry $G/Γ imes \hatΓ^{(d-1)}$, where $\hatΓ^{(d-1)}$ is the $(d-1)$-form dual symmetry of $Γ$, and a 't Hooft anomaly between them. Thus it can be viewed as a boundary of a topological phase protected by $G/Γ imes \hatΓ^{(d-1)}$. The ordinary critical point, upon gauging, is mapped to a deconfined quantum critical point between two ordinary symmetry-breaking phases ($d =1$) or an unconventional quantum critical point between an ordinary symmetry-breaking phase and a topologically ordered phase ($d\ge 2$) associated with $G/Γ$ and $\hatΓ^{(d-1)}$, respectively. Order parameters and disorder parameters, before and after gauging, can be directly related. As a concrete example, we gauge the $\mathbb{Z}_2$ subgroup of $\mathbb{Z}_4$ symmetry of a 4-state clock model on a 1D lattice and a 2D square lattice. Since the symmetry of the clock model contains $D_8$, the dihedral group of order 8, we also analyze the anomaly structure which is similar to that in the compactified $SU(2)$ gauge theory with $θ=π$ in $(3+1)$D and its mixed gauge theory. The general case is also discussed.

研究动机与目标

• 建立一种通用机制，通过规范化非异常0形式对称性中有限阿贝尔正规子群G，生成非惯例量子临界点。
• 阐明G/Γ与对偶(d−1)形式对称性Γ̂^(d−1)之间混合't Hooft异常在强制连续相变中的作用。
• 证明序参量与反序参量的标度律在规范化过程中得以保持，从而实现从普通临界点到非惯例临界点的精确映射。
• 通过1D与2D晶格上的四态钟模型与Z₂子群规范化的具体案例研究，实现该机制。
• 在紧化SU(2)规范理论中，于θ=π时分析异常结构，并探讨其与D₈二面体群对称性的关系。

提出的方法

• 通过耦合到平坦背景规范 gauge 场并求和所有配置，对非异常0形式对称性G中的有限阿贝尔正规子群Γ进行规范化。
• 利用庞特里亚金对偶Γ̂^(d−1)识别规范理论中的(d−1)形式对称性，该对称性作为Γ的对偶而出现。
• 分析H²(G/Γ, Γ)中的扩张类，以确定规范理论是否在G/Γ与Γ̂^(d−1)之间表现出非平凡的混合't Hooft异常。
• 将原始G对称理论中的序参量与反序参量映射到规范理论中G/Γ × Γ̂^(d−1)对称性部分的序参量与反序参量。
• 在1D与2D晶格上构建显式格点模型——特别是四态与六态钟模型——以实现该机制。
• 利用代数关系与对称性生成元（例如U₁ = ∏Sⱼ, U₂ = ∏τⱼ+1/2^z）分离Z₂与Z₃对称性，并在gcd(q,n)=1时验证异常的缺失。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，对非异常0形式对称性G的有限阿贝尔正规子群Γ进行规范化，会生成非惯例量子临界点？
• RQ2 H²(G/Γ, Γ)中非平凡扩张类如何在G/Γ与对偶(d−1)形式对称性Γ̂^(d−1)之间诱导出混合't Hooft异常？
• RQ3 Γ的自发对称性破缺在确保临界点在规范化后仍作为禁闭或拓扑临界点存在中起何种作用？
• RQ4 序参量与反序参量的标度律在规范化过程中如何保持不变，以及如何用于表征临界行为？
• RQ5 四态钟模型中具有D₈二面体对称性的异常结构是什么？其与θ=π的紧化SU(2)规范理论有何关联？

主要发现

• 对非异常0形式对称性G的有限阿贝尔正规子群Γ进行规范化，产生具有对称性G/Γ × Γ̂^(d−1)的规范理论，其中Γ̂^(d−1)是Γ的(d−1)形式对偶对称性。
• 若G是G/Γ对Γ的非平凡扩张，则规范理论在G/Γ与Γ̂^(d−1)之间表现出混合't Hooft异常，阻止出现平凡能隙相。
• 在d=1时，临界点映射为两个对称性破缺相之间的禁闭量子临界点（DQCP）。
• 在d≥2时，临界点映射为普通对称性破缺相（与G/Γ相关）与拓扑序相（与Γ̂^(d−1)相关）之间的非惯例量子临界点。
• 原始理论中序参量与反序参量的标度律被规范理论继承，从而提供关于临界行为的精确信息。
• 对于六态钟模型，通过将基底变换为Sⱼ与τⱼ+1/2^z，可分离Z₂与Z₃对称性，表明当gcd(6,2)=2≠1时扩张为平凡，且不产生异常。