[论文解读] Boundary Degeneracy of Topological Order

Juven Wang, Xiao-Gang Wen|arXiv (Cornell University)|Dec 19, 2012

Topological Materials and Phenomena参考文献 1被引用 24

一句话总结

本文引入边界简并作为有能隙边界拓扑序系统的新拓扑不变量，表明其编码的信息比体相基态简并更丰富。通过陈-西蒙斯理论，作者推导出一个依赖于拓扑和边界能隙条件（特别是任意子凝聚类型）的边界基态简并公式，从而可通过环面或圆柱面上的边界测量，实验区分原本相同的拓扑序，如 $Z_2$ 量子码与 $Z_2$ 双任意子模型。

ABSTRACT

We introduce the concept of boundary degeneracy of topologically ordered states on a compact orientable spatial manifold with boundaries, and emphasize that the boundary degeneracy provides richer information than the bulk degeneracy. Beyond the bulk-edge correspondence, we find the ground state degeneracy of the fully gapped edge modes depends on boundary gapping conditions. By associating different types of boundary gapping conditions as different ways of particle or quasiparticle condensations on the boundary, we develop an analytic theory of gapped boundaries. By Chern-Simons theory, this allows us to derive the ground state degeneracy formula in terms of boundary gapping conditions, which encodes more than the fusion algebra of fractionalized quasiparticles. We apply our theory to Kitaev's toric code and Levin-Wen string-net models. We predict that the $Z_2$ toric code and $Z_2$ double-semion model (more generally, the $Z_k$ gauge theory and the $U(1)_k imes U(1)_{-k}$ non-chiral fractional quantum Hall state at even integer $k$) can be numerically and experimentally distinguished, by measuring their boundary degeneracy on an annulus or a cylinder.

研究动机与目标

• 定义并表征具有有能隙边界的拓扑序系统中的边界基态简并（GSD），其与体相GSD不同。
• 表明边界GSD不仅依赖于拓扑和任意子融合规则，还依赖于特定的边界能隙条件，而这些条件不能由体相唯一确定。
• 基于陈-西蒙斯理论构建分析框架，以计算作为边界能隙条件函数的边界GSD。
• 证明边界GSD可区分具有相同体相GSD和融合规则的拓扑序，如 $Z_k$ gauge 理论与 $U(1)_k \times U(1)_{-k}$ 非手性分数量子 Hall 态。
• 提出边界GSD可作为分类内在拓扑序与平庸序（包括有能隙边的对称保护拓扑相）的精细可观测量。

提出的方法

• 将边界GSD形式化为同时具有体相拓扑序和完全能隙边模的系统的基态简并。
• 使用具有 $K$-矩阵形式的陈-西蒙斯场论，推导出以边界能隙格点和粒子凝聚模式表示的边界GSD的一般公式。
• 引入边界能隙格点 $\Gamma^{\partial_\alpha}$ 的概念，并通过条件 $\Gamma^{\partial_\alpha} \subset \Gamma^{\partial_\alpha}_{\text{cond}}$ 将其与任意子凝聚联系起来，其中后者由 $K$-矩阵和粒子格点导出。
• 应用边界粘合程序，将边界GSD与体相GSD关联，表明通过拓扑粘合，体相GSD可由边界GSD重建。
• 利用 $K$-矩阵的标准形式（费米子型：$\bigl{(}{\begin{smallmatrix}1&0\\ 0&-1\end{smallmatrix}}\bigr{)}$ 块；玻色子型：$\bigl{(}{\begin{smallmatrix}0&1\\ 1&0\end{smallmatrix}}\bigr{)}$ 块）在 $|\det K|=1$ 条件下对边界能隙条件进行分类。
• 识别出当 $|\det K|=1$ 时，所有平庸任意子（费米子或玻色子）在 $K$-矩阵模下物理上不可区分，导致仅存在一种边界能隙条件类型：$\mathcal{N}^\partial_g = 1$。

实验结果

研究问题

• RQ1 当体相和边缘模均能隙化时，拓扑序系统的基态简并如何依赖于其边界能隙条件？
• RQ2 边界GSD能否区分具有相同体相GSD和融合规则的拓扑序，如 $Z_k$ gauge 理论与 $U(1)_k \times U(1)_{-k}$ 非手性分数量子 Hall 态？
• RQ3 边界上任意子凝聚在决定边界GSD中的作用是什么？在陈-西蒙斯理论中如何体现？
• RQ4 通过边界粘合，边界GSD与体相GSD之间有何关系？
• RQ5 是否存在超越体-边对应关系的边界能隙条件类型？对于给定的 $K$-矩阵理论且满足 $|\det K|=1$，有多少种这样的类型？

主要发现

• 边界GSD无法分解为每个边界独立贡献的乘积，表明边界能隙条件之间存在非平凡纠缠。
• 对于亏格为 $g$ 的黎曼曲面且具有 $\eta'$ 个未粘合边界，边界GSD受 $|\det K|^g \cdot \left| \frac{L_{qp \cap e}}{\bigoplus_{\alpha'=1}^{\eta'} \Gamma^{\partial_{\alpha'}}} \right|$ 限制，其中该比值捕捉了边界上的有效任意子凝聚。
• 当 $|\det K|=1$ 时，所有平庸任意子（费米子或玻色子）在 $K$-矩阵模下物理上不可区分，导致仅存在一种边界能隙条件类型：$\mathcal{N}^\partial_g = 1$。
• $Z_2$ 量子码与 $Z_2$ 双任意子模型——此前无法通过体相GSD或融合规则区分——可通过在环面或圆柱面上测量其边界GSD实现实验区分。
• $U(1)_k \times U(1)_{-k}$ 非手性分数量子 Hall 态在偶数整数 $k$ 时与 $Z_k$ gauge 理论具有相同的融合规则和体相GSD，但可通过边界GSD测量加以区分。
• 边界GSD提供了分类拓扑序的精细可观测量，包括平庸序与具有完全能隙边的对称保护拓扑相，其分辨能力超越体相GSD或对称量子数所能探测的范围。