[论文解读] Boundary Integral Formulation of the Cell-by-Cell Model of Cardiac Electrophysiology

Giacomo Rosilho de Souza, Rolf Krause+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 10, 2023

Advancements in Semiconductor Devices and Circuit Design参考文献 38被引用 4

一句话总结

本文提出了一种心脏电生理学细胞-细胞（EMI）模型的边界积分格式，将退化的抛物型系统简化为仅定义在细胞膜上的常微分方程系统。该方法在单细胞情况下实现了空间指数收敛，并显著降低了自由度，从而实现了对复杂组织几何结构的高效、高精度模拟。

ABSTRACT

We propose a boundary element method for the accurate solution of the cell-by-cell bidomain model of electrophysiology. The cell-by-cell model, also called Extracellular-Membrane-Intracellular (EMI) model, is a system of reaction-diffusion equations describing the evolution of the electric potential within each domain: intra- and extra-cellular space and the cellular membrane. The system is parabolic but degenerate because the time derivative is only in the membrane domain. In this work, we adopt a boundary-integral formulation for removing the degeneracy in the system and recast it to a parabolic equation on the membrane. The formulation is also numerically advantageous since the number of degrees of freedom is sensibly reduced compared to the original model. Specifically, we prove that the boundary-element discretization of the EMI model is equivalent to a system of ordinary differential equations, and we consider a time discretization based on the multirate explicit stabilized Runge-Kutta method. We numerically show that our scheme convergences exponentially in space for the single-cell case. We finally provide several numerical experiments of biological interest.

研究动机与目标

• 为解决细胞-细胞（EMI）模型中的数学退化问题，其中时间导数仅出现在膜上。
• 通过边界积分格式将系统限制在膜边界，从而降低大规模心肌组织模拟的计算成本。
• 开发一种数值高效的方案，实现对电生理动力学的长时间模拟，并具备高空间精度。
• 研究细胞几何形状与间隙连接特性对真实组织构型中传导速度的影响。
• 为使用边界积分方法实现3D EMI模拟奠定基础，并具备扩展至非线性间隙连接模型的潜力。

提出的方法

• 利用边界积分方程重新表述EMI模型，以消除细胞内和细胞外域中的拉普拉斯方程。
• 该方法将完整系统简化为仅定义在跨膜边界上的微分-代数方程（DAE）。
• 通过间隙连接条件消除代数约束，进一步将DAE简化为膜上的常微分方程（ODE）系统。
• 采用多速率显式稳定化龙格-库塔法进行时间积分，以处理离子动力学带来的刚性问题。
• 采用边界元法（BEM）进行空间离散化，仅需边界网格划分，显著减少了自由度。
• 该方法与细胞几何形状无关，适用于任意细胞排列，包括具有多个接触点的情况。

Figure 5 : Action potential propagation in an array of $2\times 20$ cells ( $t=2$\mathrm{ms}$$ ).

实验结果

研究问题

• RQ1 能否通过边界积分方法将EMI模型的退化抛物型结构转化为膜上的非退化ODE系统？
• RQ2 所提出的BEM离散化在单细胞EMI问题中的空间收敛速率如何？
• RQ3 细胞几何形状——特别是长度和宽度——如何影响EMI模型中的传导速度？
• RQ4 EMI模型是否会出现传导失效？这与标准双域模型有何不同？
• RQ5 该方法能否扩展至具有复杂细胞排列和真实间隙连接动力学的三维EMI模拟？

主要发现

• 边界积分格式成功消除了EMI模型的退化性，将其简化为膜上的ODE系统，且自由度显著降低。
• 在单细胞情况下，该方法在空间上表现出指数收敛，表明对光滑解具有高阶精度。
• 传导速度随细胞面积增大而提高，尤其在细胞长度与宽度成比例缩放时更为明显。
• 在特定几何与导电条件下，EMI模型中观察到传导失效现象，而标准双域模型无法捕捉此现象。
• 该方法在膜上空间分辨率为10 μm时已足够精确，相比之下，均质化双域模型通常使用100–200 μm的分辨率。
• 该方法可扩展至3D模拟，并可适配非线性间隙连接模型，为未来研究病理组织状态提供可能。