[论文解读] Boundary singular solutions of a class of equations with mixed absorption-reaction

Bidaut-Veron, Marie-Fran\c{c}oise, Garcia-Huidobro, Marta+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 31, 2020

Nonlinear Partial Differential Equations参考文献 14被引用 1

一句话总结

本文研究了一类包含混合吸收与反应项的拟线性椭圆方程 $-\Delta u + u^p - M|\nabla u|^q = 0$ 在 $\Omega$ 或 $\mathbb{R}^N_+$ 中具有孤立边界奇点的正解。通过贝塞尔容量建立了紧致边界奇点可去性的条件，利用可分解法与下解方法构造了具有孤立奇点的基本解，并根据 $p$、$q$ 与 $M$ 之间的相互作用，特别是临界阈值 $q = \frac{2p}{p+1}$ 处，确定了解的行为，其中 $M$ 决定了解的性质。

ABSTRACT

We study properties of positive functions satisfying (E) --$\Delta$u + u p -- M |$ abla$u| q = 0 is a domain $\Omega$ or in R N + when p > 1 and 1 < q < min{p, 2}. We concentrate our research on the solutions of (E) vanishing on the boundary except at one point. This analysis depends on the existence of separable solutions in R N +. We consruct various types of positive solutions with an isolated singularity on the boundary. We also study conditions for the removability of compact boundary sets and the Dirichlet problem associated to (E) with a measure for boundary data.

研究动机与目标

• 分析方程 $-\Delta u + u^p - M|\nabla u|^q = 0$ 在 $\Omega \subset \mathbb{R}^N$ 或 $\mathbb{R}^N_+$ 中解的孤立边界奇点的存在性、唯一性与可去性。
• 确定紧致边界集 $K \subset \partial\Omega$ 在解于 $\partial\Omega \setminus K$ 上消失时的可去条件。
• 利用可分解解与下解技术，构造具有孤立边界奇点的基本解。
• 刻画参数 $M$ 在临界指数 $q = \frac{2p}{p+1}$ 处的作用，此时吸收与反应达到微妙平衡。
• 将理论扩展至测度值边界数据，并在容量与迹理论的背景下研究弱解。

提出的方法

• 使用先验估计与比较原理，分析 $u$、$\nabla u$ 及其加权范数在 $L^p_\rho$ 与 $L^q_\rho$ 空间中的可积性。
• 应用缩放变换 $T_\ell[u](x) = \ell^{2/(p-1)}u(\ell x)$ 识别临界指数，特别是 $q = \frac{2p}{p+1}$，此时缩放对称性平衡了吸收与反应。
• 通过泊松核与径向剖面构造下解，使用 $w_m(x) = m|x|^{-\theta}P_B(x)$，其中 $\theta = \gamma + 1 - N$，以证明奇解的存在性。
• 采用贝塞尔容量理论刻画可去边界集，尤其当 $\text{cap}_{2/r,r'}^{\partial\Omega}(K) = 0$ 对于 $r \in (\frac{N+1}{N-1}, p)$ 时。
• 在分布意义下分析弱解，其边界数据为测度 $\mu$，满足 $\int_\Omega (-u\Delta\zeta + (|u|^{p-1}u - M|\nabla u|^q)\zeta)\,dx = -\int_{\partial\Omega} \frac{\partial\zeta}{\partial n}\,d\mu$ 对所有 $\zeta \in X(\Omega)$ 成立。
• 研究 $\mathbb{R}^N_+$ 与 $\mathbb{R}^N \setminus \{0\}$ 中的径向可分解解，形式为 $U(x) = A|x|^{-\alpha}$，其满足关于 $A$ 的多项式方程。

实验结果

研究问题

• RQ1 在非负解 $-\Delta u + u^p - M|\nabla u|^q = 0$ 于 $\partial\Omega \setminus K$ 上消失的条件下，紧致边界集 $K \subset \partial\Omega$ 在何种条件下是可去的？
• RQ2 参数 $M$ 如何影响在边界点具有孤立奇点的正解的存在性与唯一性？
• RQ3 是否可以显式构造具有孤立边界奇点的基本解，其在奇点附近的渐近行为如何？
• RQ4 在 $M > 0$ 时，方程在 $\mathbb{R}^N_+$ 中的所有正解的边界迹是否都有定义？
• RQ5 在 $\Omega$ 的几何假设最小的条件下，具有测度边界数据的狄利克雷问题的弱解是否唯一？

主要发现

• 当 $p > \frac{N+1}{N-1}$ 且 $q = \frac{2p}{p+1}$ 时，若 $M < m^{**} = (p+1)\left(\frac{(N-1)p - (N+1)}{2p}\right)^{p/(p+1)}$，则任何在 $\partial\Omega \setminus \{0\}$ 上消失的非负解必恒为零。
• 当 $p = \frac{N+1}{N-1}$ 且 $1 < q < 1 + \frac{1}{N}$ 时，同样结论成立：唯一在 $\partial\Omega \setminus \{0\}$ 上消失的解为 $u \equiv 0$。
• 当 $1 < q < \frac{2p}{p+1}$ 且 $r \leq 3$ 时，若 $K \subset \partial\Omega$ 的贝塞尔容量满足 $\text{cap}_{2/r,r'}^{\partial\Omega}(K) = 0$，则任何在 $\partial\Omega \setminus K$ 上消失的解必为零。
• 临界阈值 $q = \frac{2p}{p+1}$ 标志着相变：当 $q < \frac{2p}{p+1}$ 时，吸收占主导，解的行为类似于 $-\Delta u + u^p = 0$ 的解；当 $q > \frac{2p}{p+1}$ 时，反应占主导，解类似于 $u^p - M|\nabla u|^q = 0$ 的可分解决。
• 在 $\mathbb{R}^N \setminus \{0\}$ 中的径向解，当 $q = \frac{2p}{p+1}$ 时，若 $p < \frac{N}{N-2}$，则存在唯一正解；若 $p > \frac{N}{N-2}$ 且 $M > m^* = (p+1)\left(\frac{p(N-2) - N}{2p}\right)^{p/(p+1)}$，则存在两个正解。
• 本文构造了一个下解 $w_m(x) = m|x|^{-\theta}P_B(x)$，其中 $B$ 是在原点与 $\partial\Omega$ 相切的球，证明当 $m$ 较小时，$w_m$ 是一个下解，将其延拓为零后得到一个在 $\partial\Omega \setminus \{0\}$ 上消失的非负下解，从而通过比较原理证明了奇解的存在性。