[论文解读] Boundary singularities of solutions to elliptic viscous Hamilton-Jacobi equations

Tai Nguyen Phuoc, Лаурент Верон|arXiv (Cornell University)|Sep 13, 2011

Nonlinear Partial Differential Equations参考文献 22被引用 1

一句话总结

本文研究了在有界 $ C^2 $ 域 $\Omega \subset \mathbb{R}^N$ 中，椭圆黏性 Hamilton-Jacobi 方程 $-\Delta u + g(|\nabla u|) = 0$ 解的边界奇点，重点关注当非线性项 $g(r) = r^q$ 且 $1 < q < 2$ 时，正解的存在性、唯一性及其边界迹性质。主要贡献在于对边界孤立奇点的刻画，以及识别出临界指数 $q_c = \frac{N+1}{N}$，当 $q > q_c$ 时，解可能不具有有界边界迹，且在超临界情形下，可解性要求边界测度关于 Bessel 容量 $C^{2-q}_{q,q'}$ 绝对连续。

ABSTRACT

Journal of Functional Analysis 263 (2012) 1487-1538

研究动机与目标

• 建立 Dirichlet 问题 $-\Delta u + g(|\nabla u|) = 0$ 的正解的存在性与唯一性，其中边界数据为一正有界 Borel 测度 $\mu$。
• 定义并刻画正解的边界迹为一对 $(S(u), \mu)$，其中 $S(u)$ 为奇点边界点集，$\mu$ 为在正则部分上的 Radon 测度。
• 确定在边界处孤立奇点可移除的条件，特别是在超临界情形 $q \geq q_c = \frac{N+1}{N}$ 下的情形。
• 识别当 $g(r) = r^q$ 且 $q_c \leq q < 2$ 时，Bessel 容量 $C^{2-q}_{q,q'}$ 在刻画可解性必要与充分条件中的作用。

提出的方法

• 通过测试函数 $\zeta \in X(\Omega)$ 引入问题的弱形式，要求 $\Delta\zeta \in L^\infty(\Omega)$，并通过涉及 $g(|\nabla u|)$ 和边界数据 $\mu$ 的积分恒等式定义解。
• 证明积分亚临界条件 $\int_1^\infty g(s) s^{-(2N+1)/N} ds < \infty$ 是存在具有有界测度的极大解的充分条件。
• 应用边界 Harnack 不等式分析解在边界附近的性质，以区分可积与不可积奇点。
• 在 $N-1$ 维中使用 Bessel 容量 $C^{2-q}_{q,q'}$ 刻画超临界情形 $q \geq q_c$ 下可解性的必要绝对连续条件。
• 通过光滑化测度和极大解 $u_\nu$ 的逼近技术，证明边界数据弱收敛下的稳定性。
• 利用基于测试函数 $\eta_n$ 的容量型可移除奇点准则，其中 $\|\nabla \eta_n\|_{L^{q'}} \to 0$，证明解可延拓至零容量集上。

实验结果

研究问题

• RQ1 方程 $-\Delta u + g(|\nabla u|) = 0$ 在何种条件下存在正解，其边界数据为给定的正有界 Borel 测度 $\mu$？
• RQ2 在何种条件下正解具有定义良好的边界迹 $(S(u), \mu)$，且奇点集 $S(u)$ 的特征为何？
• RQ3 临界指数 $q_c = \frac{N+1}{N}$ 的含义是什么，它如何在边界奇点行为上区分亚临界与超临界情形？
• RQ4 当 $q \geq q_c$ 时，边界测度 $\mu$ 的存在性所需满足的必要与充分条件是什么，其与 Bessel 容量有何关联？
• RQ5 哪些紧集 $K \subset \Omega$ 允许在 $\Omega \setminus K$ 中方程 $-\Delta u + |\nabla u|^q = 0$ 的解实现奇点可移除？

主要发现

• 当 $g(r) = r^q$ 且 $1 < q < q_c = \frac{N+1}{N}$ 时，任意正外正则 Borel 测度 $\nu \not\equiv \infty$ 均可作为某正解的边界迹实现。
• 当 $q_c \leq q < 2$ 时，可解性的必要条件是边界测度 $\mu$ 必须关于 $N-1$ 维中的 Bessel 容量 $C^{2-q}_{q,q'}$ 绝对连续。
• 满足 $\int_{\Omega \cap U} g(|\nabla u|) d(x) dx = \infty$ 的边界点集 $S(u)$ 是闭集，且解 $u$ 具有唯一的边界迹 $\operatorname{tr}_{\partial\Omega}(u) = (S(u), \mu)$，其中 $\mu$ 为 $\partial\Omega \setminus S(u)$ 上的正 Radon 测度。
• 当 $q = 2$ 时，对任意正有界测度 $\mu$ 问题均可解，且孤立奇点可移除当且仅当奇点集的 $C^{1,2}$-容量为零。
• 当 $q = 1$ 时，任意正解 $u$ 均可具有有界正 Borel 测度 $\mu$ 作为其边界迹，且由于齐次性与唯一性，不存在非平凡的孤立奇点。
• 当 $q \geq q^* = \frac{N}{N-1}$ 时，紧集 $K \subset \Omega$ 是方程 $-\Delta u + |\nabla u|^q = 0$ 在 $\Omega \setminus K$ 中解的可移除集，当且仅当 $C^{1,q'}(K) = 0$，且此类解可光滑延拓至 $\Omega$。