[论文解读] Boundary stabilization of quasilinear hyperbolic systems of balance laws: Exponential decay for small source terms

Martin Gugat, Vincent Perrollaz+1 more|arXiv (Cornell University)|Sep 28, 2017

Stability and Controllability of Differential Equations参考文献 29被引用 12

一句话总结

本文在小源项 $\epsilon f, \epsilon g$ 条件下，通过动态边界条件避免初始数据的相容性条件，建立了拟线性双曲平衡律系统指数稳定的结论，其衰减速率与 $\ln(\epsilon^{-1})$ 成正比。关键结果表明，即使在有限时间稳定性丧失的情况下，系统对小扰动仍保持鲁棒性，且仍能保持指数收敛。

ABSTRACT

We investigate the long-time behavior of solutions of quasilinear hyperbolic systems with transparent boundary conditions when small source terms are incorporated in the system. Even if the finite-time stability of the system is not preserved, it is shown here that an exponential convergence towards the steady state still holds with a decay rate which is proportional to the logarithm of the amplitude of the source term. The result is stated for a system with dynamical boundary conditions in order to deal with initial data that are free of any compatibility condition.

研究动机与目标

• 研究当有限时间稳定性丧失时，小源项下拟线性双曲系统的长期行为。
• 确定在引入源项时，指数稳定性是否在小扰动下依然保持。
• 为 $2\times2$ 拟线性双曲系统在对角形式下建立指数收敛至稳态的结论，衰减速率与 $\ln(\epsilon^{-1})$ 成正比。
• 通过采用动态边界条件而非齐次边界条件，消除对初始数据的相容性条件要求。
• 将线性系统的鲁棒性结果推广至具有小源项的拟线性双曲系统。

提出的方法

• 利用动态边界条件使初始数据无需满足相容性条件，从而能够分析一般初始数据。
• 在基于杜哈梅尔公式构造的加权空间中应用不动点论证，推导线性扰动系统的衰减估计。
• 通过算子理论方法证明小扰动下线性系统的指数稳定性，显示衰减速率 $\sim \ln(\epsilon^{-1})$。
• 利用先验估计和利普希茨空间中的收敛性论证，将线性结果推广至拟线性系统。
• 通过特征线法和弱形式化技术，建立强解的存在性与唯一性。
• 利用紧致性（阿斯科利-阿尔泽拉定理）与弱-* 收敛性，实现近似解序列的极限过程。

实验结果

研究问题

• RQ1 当小源项破坏有限时间稳定性时，指数稳定性是否在拟线性双曲系统中依然保持？
• RQ2 当系统受小源项扰动时，解向平衡态的衰减速率是多少？
• RQ3 动态边界条件能否替代齐次边界条件，以允许一般初始数据而无需相容性条件？
• RQ4 扰动系统的衰减速率是否与 $\ln(\epsilon^{-1})$ 成正比，如在线性情形中所观察到的？
• RQ5 有限时间稳定性对小扰动的鲁棒性是否可从线性系统推广至拟线性双曲系统？

主要发现

• 对于足够小的 $\epsilon > 0$，线性系统 $\partial_t u + c\partial_x u = \epsilon v$，$\partial_t v - c\partial_x v = \epsilon u$ 在动态边界条件下，解以与 $\ln(\epsilon^{-1})$ 成正比的衰减速率指数收敛于零。
• 衰减速率下界为 $\kappa \ln(\epsilon^{-1})$（对任意 $\kappa > c/L$），表明对数依赖关系的精确性。
• 对于具有小源项 $\epsilon f(u,v), \epsilon g(u,v)$ 的拟线性系统，当 $\epsilon$ 足够小时，解以与 $\ln(\epsilon^{-1})$ 成正比的衰减速率指数收敛至稳态。
• 该结果在初始数据充分接近稳态且无需相容性条件（因采用动态边界条件）时成立。
• 解保持在 $\mathrm{Lip}([0,T]\times[0,L])$ 内，且 $\|y\|_\infty$、$\|\partial_x y\|_\infty$ 与 $\|\partial_t y\|_\infty$ 满足关于数据范数的统一有界性。
• 通过弱-* 收敛与紧致性，建立了近似解在 $\mathcal{C}^0$ 中的收敛性，确保极限为极限系统的唯一弱解。