[论文解读] Boundary-value problem for fractional heat equation involving Caputo-Fabrizio derivative

Nasser Al-Salti, Erkinjon Karimov+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 31, 2016

Fractional Differential Equations Solutions参考文献 2被引用 4

一句话总结

本文研究了使用Caputo-Fabrizio导数（一种非奇异核分数阶导数）的时间分数阶热方程的边值问题。通过应用分离变量法并将问题约化为Volterra积分方程，作者建立了四类不同边值问题在特定初值和边值条件下的唯一可解性，并推导出显式解析解，通过级数估计证明了收敛性。

ABSTRACT

In this work, we consider a number of boundary-value problems for time-fractional heat equation with the recently introduced Caputo-Fabrizio derivative. Using the method of separation of variables, we prove a unique solvability of the stated problems. Moreover, we have found an explicit solution to certain initial value problem for Caputo-Fabrizio fractional order differential equation by reducing the problem to a Volterra integral equation. Different forms of solution were presented depending on the values of the parameter appeared in the problem.

研究动机与目标

• 解决涉及Caputo-Fabrizio导数的时间分数阶热方程缺乏解析解的问题。
• 建立具有非奇异核的分数阶热方程初值与边值问题的唯一可解性。
• 通过将问题约化为Volterra积分方程，推导显式解析解。
• 验证解及其导数的级数表示的收敛性。

提出的方法

• 采用分离变量法，将分数阶PDE分解为空间和时间上的常微分方程。
• 将Caputo-Fabrizio分数阶微分方程的初值问题约化为第二类Volterra积分方程。
• 使用逐次迭代方法求解Volterra积分方程，并推导解的闭式表达式。
• 在空间方向应用傅里叶级数展开，利用余弦和正弦项表示解的特征函数形式。
• 通过$ L^2 $-范数和柯西-施瓦茨型不等式估计解及其二阶空间导数的级数表示的收敛性。
• 通过所用级数展开中双正交系的完备性验证唯一性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，Caputo-Fabrizio分数阶微分方程的初值问题存在唯一的连续解？
• RQ2 如何为涉及Caputo-Fabrizio时间分数阶热方程的边值问题推导显式解析解？
• RQ3 解的形式如何随参数值变化而变化，特别是当$ \lambda = \frac{1}{1-\alpha} $时？
• RQ4 如何建立解及其导数的无穷级数表示的收敛性？
• RQ5 初值和边值条件（包括$ g(x,0) = 0 $，$ g(0,t) = g(1,t) $）在确保解的正则性和唯一性方面起什么作用？

主要发现

• 当$ \lambda \neq \frac{1}{1-\alpha} $时，初值问题的解由一个包含强迫函数及其与指数核卷积的加权和的闭式表达式给出。
• 当$ \lambda = \frac{1}{1-\alpha} $时，解具有不同形式：$ u(t) = -(1-\alpha)f(t) - \frac{(1-\alpha)^2}{\alpha}f'(t) $，在$ f(0) = f'(0) = 0 $条件下成立。
• 分数阶热方程边值问题的解在空间方向表示为傅里叶级数，其系数通过Volterra型积分随时间依赖。
• 在$ g(x,t) \in C(\overline{\Omega}) $，$ g(x,0) = 0 $，$ g_t(x,t) \in L_1[0,T] $，以及$ g_x(x,t) \in L_2[0,1] $的条件下，证明了$ u_{xx}(x,t) $的级数表示收敛。
• 由于傅里叶展开中所用双正交系的完备性，解是唯一的。
• 估计式$ |u_{xx}(x,t)| \leq \sum_{k=1}^{\infty} \frac{C_3}{(k\pi)^2} + \|\bar{g_{1k}}(t)\|_{L_2} + \|g_{2k}(t)\|_{L_2} + \|\bar{g_{2k}}(t)\|_{L_2} $确认了解级数的绝对一致收敛性。