[论文解读] Boundary value problems in Lipschitz domains for equations with drifts

Georgios Sakellaris|arXiv (Cornell University)|Jan 28, 2017

Advanced Mathematical Modeling in Engineering参考文献 13被引用 3

一句话总结

本文通过调和测度与层电位方法，建立了有界 Lipschitz 域中带漂移项 $L = -\operatorname{div}(A\nabla\cdot) + b\nabla\cdot$ 的二阶椭圆型微分算子的 $D_2$ Dirichlet 问题与 $R_2$ Regularity 问题的唯一可解性。主要结果表明，在最小假设下（$A$ 为 Lipschitz 连续，$b$ 有界），$L^t$ 的 $D_2$ 问题与 $L$ 的 $R_2$ 问题唯一可解；而 $L^t$ 的 $R_2$ 问题则需要更强的 $A$ 和 $\operatorname{div}b$ 的正则性条件，即 $\operatorname{div}b \in L^d$。

ABSTRACT

In this work we establish solvability and uniqueness for the $D_2$ Dirichlet problem and the $R_2$ Regularity problem for second order elliptic operators $L=-{ m div}(A abla\cdot)+b abla\cdot$ in bounded Lipschitz domains, where $b$ is bounded, as well as their adjoint operators $L^t=-{ m div}(A^t abla\cdot)-{ m div}(b\,\cdot)$. The methods that we use are estimates on harmonic measure, and the method of layer potentials. The nature of our techniques applied to $D_2$ for $L$ and $R_2$ for $L^t$ leads us to impose a specific size condition on ${ m div}b$ in order to obtain solvability. On the other hand, we show that $R_2$ for $L$ and $D_2$ for $L^t$ are uniquely solvable, assuming only that $A$ is Lipschitz continuous (and not necessarily symmetric) and $b$ is bounded.

研究动机与目标

• 在有界 Lipschitz 域中，建立带漂移项的二阶椭圆型微分算子 $L = -\operatorname{div}(A\nabla\cdot) + b\nabla\cdot$ 的 $D_2$ Dirichlet 问题与 $R_2$ Regularity 问题的唯一可解性。
• 分析漂移项 $b$ 及其散度 $\operatorname{div}b$ 在决定边界值问题可解性条件中的作用。
• 将可解性结果推广至算子 $L$ 及其共轭 $L^t$，区分对称与非对称系数的情形。
• 以边界数据的 $L^p$-范数与系数正则性为基准，推导解的定量估计。
• 通过调和测度与层电位技术统一处理边界值问题，尤其针对非对称算子。

提出的方法

• 本文采用调和测度方法分析 $L$ 的 $D_2$ 问题，利用调和测度密度的估计与极大函数控制。
• 通过层电位方法研究 $R_2$ 问题，包括单层与双层电位的可逆性及边界上的跳跃关系。
• 通过将漂移项 $b$ 分解为无散部分 $\tilde{b}$ 与余项，利用分部积分将非对称情形约化为对称情形。
• 应用 Rellich 型估计以控制边界上梯度的 $L^2$-范数，这对 $R_2$ 可解性至关重要。
• 作者使用加权 $L^p$ 估计与极大函数技术，控制解的非切向极大函数。
• 分析依赖于区域 $\Omega$ 的 Lipschitz 正则性、$A$ 的统一椭圆性，以及 $b$ 与 $\operatorname{div}b$ 的可积性条件。

实验结果

研究问题

• RQ1 在有界 Lipschitz 域中，当漂移项 $b$ 及其散度 $\operatorname{div}b$ 满足何种条件时，$L = -\operatorname{div}(A\nabla\cdot) + b\nabla\cdot$ 的 $D_2$ Dirichlet 问题唯一可解？
• RQ2 当 $A$ 仅为 Lipschitz 连续且 $b$ 有界，且不要求 $\operatorname{div}b \in L^p$ 时，$L$ 的 $R_2$ Regularity 问题是否唯一可解？
• RQ3 当 $A$ 非对称时，$L^t$ 的 $R_2$ 问题唯一可解需要对 $A$ 额外施加何种正则性？
• RQ4 将 $b$ 分解为无散部分与余项，如何影响边界值问题的可解性？
• RQ5 可解性结果在多大程度上依赖于系数矩阵 $A$ 的对称性？

主要发现

• 当 $A$ 一致椭圆且为 Lipschitz 连续，$b \in L^\infty$，且 $\operatorname{div}b \in L^{p_d}(\Omega)$，其中 $p_d = 2$（当 $d=3$）且 $p_d = d/2$（当 $d \geq 4$）时，$L = -\operatorname{div}(A\nabla\cdot) + b\nabla\cdot$ 的 $D_2$ Dirichlet 问题在有界 Lipschitz 域中唯一可解。
• 在相同假设下，$L$ 的 $R_2$ Regularity 问题唯一可解，常数仅依赖于 $d$、$A$ 的椭圆性、$A$ 的 Lipschitz 范数、$\|b\|_\infty$、$\Omega$ 的直径及 $\Omega$ 的 Lipschitz 特征。
• 若仅要求 $A$ 为 Lipschitz 且 $b$ 有界，则共轭算子 $L^t = -\operatorname{div}(A^t\nabla\cdot) - \operatorname{div}(b\cdot)$ 的 $D_2$ Dirichlet 问题唯一可解。
• 当 $A$ 为 $C^{1,\alpha}$ 且 $b \in \operatorname{Dr}_{d,\alpha}(\mathbb{R}^d)$，且 $\operatorname{div}b \in L^d(\mathbb{R}^d)$ 时，$L^t$ 的 $R_2$ Regularity 问题唯一可解，常数依赖于 $\|A\|_{C^{1,\alpha}}$、$\|b\|_{\operatorname{Dr}_{d,\alpha}}$ 以及区域的直径与特征。
• 当 $p \in (2 - \varepsilon, \infty)$ 时，若 $\operatorname{div}b \in L^{p_d}(\Omega)$，则 $L$ 的 $D_p$ Dirichlet 问题唯一可解，其中 $\varepsilon > 0$ 依赖于区域与系数。
• 通过构造无散校正项 $\tilde{b}$，表明可解性结果对 $b$ 的小扰动具有稳定性，且该构造保持方程结构，使问题可约化为对称情形。