[论文解读] Bounded Cohomology and Deformation Rigidity in Complex Hyperbolic Geometry

Marc Burger, Alessandra Iozzi|ArXiv.org|May 4, 2005

Geometric and Algebraic Topology参考文献 29被引用 8

一句话总结

本文推进了局部紧群的有界连续上同调理论，并将其应用于建立米尔诺-伍德不等式及复双曲几何中的全局刚性结果。证明了当 p ≥ 2 或该格为余紧时，SU(p,1) 中的格不能非平凡地形变为 SU(q,1)（q ≥ p），通过有界上同调技巧将戈德曼与米尔斯通的早期结果推广至非余紧情形。

ABSTRACT

We develop further basic tools in the theory of continuous bounded cohomology of locally compact groups. We apply this tools to establish a Milnor-Wood type inequality in a very general context and to prove a global rigidity result which was originally announced by the authors with a sketch of a proof using bounded cohomology techniques and then proven by Koziarz and Maubon using harmonic map techniques. As a corollary one obtains that a lattice in SU(p,1) cannot be deformed nontrivially in SU(q,1), if either p is at least 2 or the lattice is cocompact. This generalizes to noncocompact lattices a theorem of Goldman and Millson.

研究动机与目标

• 发展局部紧群有界连续上同调的奠基性工具。
• 在一般背景下，利用有界上同调建立类米尔诺-伍德不等式。
• 证明 SU(p,1) 格映射到 SU(q,1) 的全局刚性，将戈德曼与米尔斯通的结果推广至非余紧格。
• 证明比较映射像中的类在局部对称空间上可由有界闭微分形式表示。

提出的方法

• 利用纤维积与有界上同调中局部紧群的转移映射，发展上同调工具。
• 引入有界托莱多映射，并将其与有界上同调中的比较映射关联。
• 应用可测卡坦定理，将刚性问题约化至 p = q = 2 的情形。
• 通过比较映射与拉回映射的分解，分析群同态下有界类的像。
• 利用一个正函数 β 与一个准不变测度 ν，在 L∞-空间上构造一个连续、H-等变的同伦算子。
• 通过对抗准不变测度的积分构造转移映射，将有界上同调类与不变微分形式关联。

实验结果

研究问题

• RQ1 有界上同调技巧是否能在半单李群的一般设定下建立米尔诺-伍德不等式？
• RQ2 在何种条件下，SU(p,1) 中的格可非平凡地形变为 SU(q,1)（q ≥ p）？
• RQ3 比较映射 Hcb•(Γ,R) → HdR•(Γ\X) 的像中的每个类是否都可在局部对称空间 Γ\X 上由有界闭微分形式表示？
• RQ4 离散群的有界上同调如何与其中心局部对称空间的几何相关联？
• RQ5 有界托莱多映射在刻画酉对称空间中有界上同调类时起何种作用？

主要发现

• 任何可由有界连续类表示的 G' 上连续类的拉回，均可在局部对称空间 Γ\X 上由有界闭微分形式表示。
• 比较映射 Hcb•(Γ,R) → HdR•(Γ\X) 的像中的每个类均可在 Γ\X 上由有界闭微分形式表示。
• 当 p ≥ 2 或格为余紧时，SU(p,1) 中的格不能非平凡地形变为 SU(q,1)（q ≥ p），将戈德曼与米尔斯通的结果推广至非余紧格。
• SU(p,1) 格的比较映射可分解为有界上同调，且托莱多不变量的有界性蕴含刚性。
• 在取值于 G×(H/Q)n 的 L∞-空间上存在连续、H-等变的同伦算子，确保了有界上同调设定下拉回的连续性。
• 通过构造具有紧支集性质的准不变测度 ν 与函数 β，实现通过积分将有界上同调类转移，从而证明了连续性与等变性。