[论文解读] Bounded cohomology with coefficients in uniformly convex Banach spaces

Mladen Bestvina, Kenneth Bromberg+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 6, 2013

Geometric and Algebraic Topology参考文献 14被引用 14

一句话总结

该论文证明，对于任意无非平凡有限正规子群的无偏双曲群，其在任意非零一致强凸巴拿赫空间系数上的本质拟余胞射空间为无限维。通过推广Brooks型构造并利用一致强凸性与自反性，作者证明了此类系数下的有界上同调捕捉到无限维非平凡拟余胞射类，将先前关于 $ρ$-正则表示的结果推广至更广泛的酉表示类。

ABSTRACT

We show that for acylindrically hyperbolic groups $Γ$ (with no nontrivial finite normal subgroups) and arbitrary unitary representation $ρ$ of $Γ$ in a (nonzero) uniformly convex Banach space the vector space $H^2_b(Γ;ρ)$ is infinite dimensional. The result was known for the regular representations on $\ell^p(Γ)$ with $1

研究动机与目标

• 将经典的Brooks构造从拟同态推广至一致强凸巴拿赫空间中的酉表示。
• 建立无偏双曲群在本质拟余胞射空间中的无限维性。
• 将先前关于 $¹$-系数有界上同调的结果推广至更广泛的巴拿赫空间系数类。
• 证明一致强凸性与自反性在保证拟余胞射的非平凡性与本质性方面具有关键作用。
• 表明双曲内嵌自由群的结构是此设定下有界上同调无限维性的根源。

提出的方法

• 将Brooks构造从拟同态推广至一致强凸巴拿赫空间中的无界拟余胞射。
• 利用巴拿赫空间的一致强凸性，证明某些拟余胞射为无界，从而确保其在本质拟余胞射商空间中的非平凡性。
• 应用自反性，证明这些拟余胞射不与任何余胞射在有界距离内，从而确认其本质性。
• 利用Dahmani-Guirardel-Osin与Osin的结果，证明无偏双曲群中存在双曲内嵌自由群。
• 通过 $F_2 \times K$ 上 $ρ$-拟余胞射与 $F_2$ 上的同构，将自由群上的无限维性结果转移至更大群。
• 应用Hull与Osin关于从双曲内嵌子群到整个群的反对称拟余胞射延拓定理。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否将Brooks构造从拟同态推广至一致强凸巴拿赫空间中的酉表示？
• RQ2 对于无偏双曲群，其在一致强凸巴拿赫空间系数下的本质拟余胞射空间是否为无限维？
• RQ3 一致强凸性与自反性在保证拟余胞射的非平凡性与本质性方面起什么作用？
• RQ4 若无偏双曲群中存在双曲内嵌自由群，是否意味着其在该类系数下的有界上同调为无限维？
• RQ5 有限正规子群如何影响在一致强凸巴拿赫空间系数下的有界上同调？

主要发现

• 对于任意非零一致强凸巴拿赫空间 $E$，任意自由群 $F_2$ 的酉表示 $\rho$，空间 $\widetilde{QC}(F_2;\rho)$ 均为无限维。
• 通过构造一种广义Brooks型拟余胞射，证明了 $\widetilde{QC}(F_2;\rho)$ 的无限维性，该拟余胞射既无界又不与任何余胞射在有界距离内。
• 一致强凸性在证明构造出的拟余胞射无界性方面至关重要，如引理3.4所示。
• 自反性用于排除拟余胞射可被余胞射有界逼近的可能性，如引理3.6所示。
• 对于无非平凡有限正规子群的无偏双曲群 $G$，其在任意非零一致强凸巴拿赫空间上的酉表示 $\rho$，均有 $\dim\widetilde{QC}(G;\rho) = \infty$。
• 当表示在子群作用下的不变子空间中固定非零向量时，该结果可推广至含有限正规子群的群。