[论文解读] Bounded Fluctuations and Translation Symmetry Breaking in One-Dimensional Particle Systems

Michael Aizenman, Sheldon Goldstein+1 more|ArXiv.org|Jul 14, 2000

Markov Chains and Monte Carlo Methods被引用 4

一句话总结

该论文证明，在点电荷或晶格自旋的一维系统中，若电荷或自旋涨落均匀有界，则平移对称性必然被破坏，导致周期性或准周期性结构的出现。关键结果是：总电荷的方差有界意味着配置空间中存在非平凡的循环因子，从而证明此类系统不可能是混合的，且必然表现出长程序。

ABSTRACT

We present general results for one-dimensional systems of point charges (signed point measures) on the line with a translation invariant distribution $μ$ for which the variance of the total charge in an interval is uniformly bounded (instead of increasing with the interval length). When the charges are restricted to multiples of a common unit, and their average charge density does not vanish, then the boundedness of the variance implies translation-symmetry breaking --- in the sense that there exists a function of the charge configuration that is nontrivially periodic under translations --- and hence that $μ$ is not ``mixing.'' Analogous results are formulated also for one dimensional lattice systems under some constraints on the values of the charges at the lattice sites and their averages. The general results apply to one-dimensional Coulomb systems, and to certain spin chains, putting on common grounds different instances of symmetry breaking encountered there.

研究动机与目标

• 建立一维系统中电荷涨落有界与平移对称性破缺之间的一般联系。
• 证明总电荷方差均匀有界的系统不可能是混合的，从而暗示长程序的存在。
• 将多种物理现象——如电子晶格在jellium中的形成以及自旋链的基态——统一于同一数学框架之下。
• 将分析扩展至晶格系统以及具有一个非受限方向的高维管状系统。
• 证明对称库仑气体是不对称系统在对称性破缺极限下的结果，从而解释Θ-态的存在。

提出的方法

• 利用紧致余上同调理论及配置空间的可测函数，从有界涨落构造周期性结构。
• 定义一个类似电场的泛函 $\mathcal{E}(\omega)$，其在平移下由区间内净电荷变换，从而导出循环因子。
• 证明当电荷涨落有界时，泛函 $\mathcal{E}(T_x\omega)$ 满足涉及 $Q_\omega((0,x])$ 的平移规则，从而在模 $2\pi$ 意义下具有周期性。
• 将理论应用于连续点电荷与具有离散电荷值的晶格系统，区分单位电荷的整数倍与附加背景电荷 $\gamma$。
• 利用紧致性及子列极限收敛性，证明当 $L \to \infty$ 时存在极限测度 $\mu$。
• 将结果推广至横截面有限的无限管状系统，其中沿管轴方向的有界涨落意味着轴向对称性破缺。

实验结果

研究问题

• RQ1 在一维系统中，总电荷方差有界是否必然导致平移对称性破缺？
• RQ2 能否仅从涨落界限推导出如一维jellium或自旋链中周期性结构的出现？
• RQ3 背景电荷的存在或离散电荷量子化如何影响对称性破缺序的结构？
• RQ4 对称一维库仑气体的Θ-态与不对称模型的对称性破缺态之间存在何种关系？
• RQ5 这些结果在多大程度上可推广至具有一个非受限方向的高维系统，如jellium管？

主要发现

• 在区间上总电荷方差有界意味着存在一个可测函数 $\mathcal{E}(\omega)$，其在平移下由净电荷变换，从而导出循环因子 $\phi(\omega) = \frac{2\pi}{e}\mathcal{E}(\omega) \mod 2\pi$。
• 在具有离散电荷（$e$ 的整数倍）的系统中，循环因子具有明确定义的周期，从而证明平移对称性破缺及测度 $\mu$ 的非混合性。
• 对于具有背景电荷 $\gamma$ 的晶格系统，对称性破缺结构为准周期性，其周期由 $\gamma - \rho$ 决定。
• 由于有限体积测度的紧致性，吉布斯测度的无限体积极限唯一存在，无需取子列。
• 对称一维库仑气体的 $\Theta$-态是背景电荷 $\epsilon$ 极小的不对称系统极限下的结果，其中每个 $\epsilon$-依赖态均表现出周期为 $1/\epsilon$ 的周期性。
• 结果适用于经典库仑系统与量子自旋链，统一了不同物理模型中对称性破缺的数学起源。